ＱＮＡによるライン・サイクルタイムの計算例（３）

「ＱＮＡによるライン・サイクルタイムの計算例（１）」の例を少し複雑にして下図のようなラインを考えます。

このラインを流れる品種は品種１、品種２の２種類で、品種１はステーション１→３、品種２はステーション２→３のラウティングを持つとします。品種１のラインへの到着時間間隔は平均 $t_a(1)$ 、標準偏差 $\sigma_a(1)$ とし、品種２のそれらは平均 $t_a(2)$ 、標準偏差 $\sigma_a(2)$ とします。ステーション１は装置１台からなり、ステーション２は３台、ステーション３は２台からなります。品種１に必要な処理時間は、ステーション１では平均 $t_e(1,1)$ 、標準偏差 $\sigma_e(1,1)$ 、ステーション３では平均 $t_e(3,1)$ 、標準偏差 $\sigma_e(3,1)$ とします。品種２に必要な処理時間は、ステーション２では平均 $t_e(2,2)$ 、標準偏差 $\sigma_e(2,2)$ 、ステーション３では平均 $t_e(3,2)$ 、標準偏差 $\sigma_e(3,2)$ とします。これらのデータから品種１と２のそれぞれのジョブのこのラインでのサイクルタイム $CT(1)$ 、 $CT(2)$ を計算して行きます。

まずは各ステーションの利用率 $u$ です。ステーション１、２については「ＱＮＡによるライン・サイクルタイムの計算例（１）」と同じに考えて

$u(1)=\frac{t_e(1,1)}{t_a(1)}$ ・・・・・（１）
$u(2)=\frac{t_e(2,2)}{t_a(2)}$ ・・・・・（２）

となります。
ステーション３については少し工夫が入ります。品種１、２の流量をそれぞれ $\lambda_0(1)$ 、 $\lambda_0(2)$ で表すと、それらは平均到着時間間隔の逆数ですから

$\lambda_0(1)=\frac{1}{t_a(1)}$ ・・・・・（３）
$\lambda_0(2)=\frac{1}{t_a(2)}$ ・・・・・（４）

となります。この流量で重み付けして $t_e(3,1)$ と $t_e(3,2)$ の平均をとれば、ステーション３の平均処理時間を求めることが出来ます。これを $t_e(3)$ で表すことにします。すると

$t_e(3)=\frac{\lambda_0(1)t_e(3,1)+\lambda_0(2)t_e(3,2)}{\lambda_0(1)+\lambda_0(2)}$ ・・・・・（５）

となります。ステーション３に到着する流量 $\lambda$ は

$\lambda=\lambda_0(1)+\lambda_0(2)$ ・・・・・（６）

ですから、ステーション３への平均到着間隔 $t_a$ は、その逆数の

$t_a=\frac{1}{\lambda_0(1)+\lambda_0(2)$ ・・・・・（７）

よって $u(3)$ は

- $=\lambda_0(1)t_e(3,1)+\lambda_0(2)t_e(3,2)=\frac{t_e(3,1)}{t_a(1)}+\frac{t_e(3,2)}{t_a(2)}$

よって

$u(3)=\frac{t_e(3,1)}{t_a(1)}+\frac{t_e(3,2)}{t_a(2)}$ ・・・・・（８）

です。

次に各ステーションでの処理時間の変動係数を求めます。ステーション１、２については「ＱＮＡによるライン・サイクルタイムの計算例（１）」と同じに考えて

$c_e(1)=\frac{\sigma_e(1,1)}{t_e(1,1)}$ ・・・・・（９）
$c_e(2)=\frac{\sigma_e(2,2)}{t_e(2,2)}$ ・・・・・（１０）

ステーション３のばあいは、まずステーション３全体での標準偏差 $\sigma_e(3)$ を求める必要があります。ここで気をつけなければならないのは $\sigma_e(3,1)$ と $\sigma_e(3,2)$ を $\lambda_0(1)$ 、 $\lambda_0(2)$ で加重平均しても $\sigma_e(3)$ にはならない、ということです。加重平均が出来るのは平均値の性質を持つものです。ところで一般に確率変数 $X$ の平均を $E(X)$ で、標準偏差を $STD(X)$ で表すと