拡散近似（３） - 工場統計力学（建設中！）

「拡散近似（２）」の続きです。
ここで時刻 $t$ でのシステム内の客数（＝ジョブ数）を $Q(t)$ で表すことにします。時刻 $t+s$ でのシステム内の客数は $Q(t+s)$ で表されます。 $[t,s)$ の間のシステム内の客数の変化、つまり $Q(t+s)-Q(t)$ は、到着累計数 $A(t+s)-A(t)$ と出発累計数 $D(t+s)-D(t)$ の差に等しくなります。つまり

$Q(t+s)-Q(t)=\{A(t+s)-A(t)\}-\{D(t+s)-D(t)\}$ ・・・・・（１９）

さて、待ち行列が空でない限り、到着と出発は独立に起ります。 $[t,s)$ の間、待ち行列は空でないと仮定しているので $Q(t+s)-Q(t)$ は正規分布に従う２つの独立な確率変数の差となるので、これも正規分布になります。２つの独立な確率変数の差の平均は、もともとの確率変数の平均の差であり、２つの独立な確率変数の差の標準偏差は、もともとの確率変数の標準偏差の２乗の和の平方根ですので、 $Q(t+s)-Q(t)$ の平均 $m_Q$ は
「拡散近似（１）」の式（６）

$m_A=\frac{s}{t_a}$ ・・・・・（６）

と「拡散近似（２）」の式（１７）

$m_D=\frac{ms}{t_e}$ ・・・・・（１７）

から

$m_Q=m_A-m_D=\left(\frac{1}{t_a}-\frac{m}{t_e}\right)s$

となります。ここで、

$t_a=\frac{t_e}{mu}$ ・・・・・（２０）

であることを（ $u$ は利用率です。）考慮すれば

$m_Q=\left(\frac{mu}{t_e}-\frac{m}{t_e}\right)s=(u-1)\frac{m}{t_e}s$

よって

$m_Q=(u-1)\frac{m}{t_e}s$ ・・・・・（２１）

となります。
$Q(t+s)-Q(t)$ の分散 $\sigma_Q^2$ は
「拡散近似（１）」の式（７）

$\sigma_A=\sqrt{s/t_a}\sigma_a/t_a$ ・・・・・（７）

と「拡散近似（２）」の式（１８）

$\sigma_D=\sqrt{ms/t_e}\sigma_e/t_e$ ・・・・・（１８）

から

$\sigma_Q^2=\frac{s}{t_a}\frac{\sigma_a^2}{t_a^2}+\frac{ms}{t_e}\frac{\sigma_e^2}{t_e^2}$

ここで、到着間隔の変動係数

$c_a=\frac{\sigma_a}{t_a}$

と、処理時間の変動係数

$c_e=\frac{\sigma_e}{t_e}$

を用いれば

$\sigma_Q^2=\frac{s}{t_a}c_a^2-\frac{ms}{t_e}c_e^2=\left(\frac{c_a^2}{t_a}+\frac{mc_e^2}{t_e}\right)s$

よって

$\sigma_Q^2=\left(\frac{c_a^2}{t_a}+\frac{mc_e^2}{t_e}\right)s$ ・・・・・（２２）

となります。

ここで式（２１）から $m_Q$ は明らかに負です。つまり $s$ が増加するにつれて、ということは時間が経過するにつれて $Q(t+s)$ の平均値は直線的に下がり、どこかで０になるはずです。０になれば、そこからの出発の発生はあり得ません。ですから今までの前提が崩れるので、私にはこのことの扱いが気になります。しかし、拡散近似ではそこには注目していないようです。そこには注目しなくても近似が導ける理由を、あとで考えたいと思います。今は先に進みます。

さて、拡散近似では、式（２１）の平均と式（２２）の標準偏差を持つ $Q(t+s)-Q(t)$ をブラウン運動で近似しようとしています。では、ブラウン運動とは何か、今度はその説明が必要になります。ブラウン運動はランダム・ウォークの極限として導き出されます。

「拡散近似（４）」に続きます。