拡散近似（４） - 工場統計力学（建設中！）

「拡散近似（３）」の続きです。
時間 $t$ におけるＧＩ／Ｇ／１待ち行列のシステム内の客数 $Q(t)$ は時間の経過とともに、一般に確率的に変動します。たとえば下の図のようです。

図１

拡散近似ではこの様子を、ブラウン運動で近似します。ブラウン運動というのはどの時刻でも不規則に値が変化する下の図のような過程です。

図２

この２つには大きな違いがあります。 $Q(t)$ のほうは縦軸 $Q(t)$ が整数値しかとりません。これは客数ですからあたりまえです。ところがブラウン運動では縦軸 $x$ は実数値をとります。このような違いがあるもので近似するところが、拡散近似のどうもうさんくさいところだと私は思います。しかし、そのことの是非の検討についてはあとで行うことにして、ここでは先を急ぎます。

ブラウン運動の簡単な説明から致します。ブラウン運動はランダムウォークの極限として得られます。そこで最初はランダムウォークの簡単な説明から致します。

ランダムウォークは１回ごとに次にどちらに進むのかを確率的に決めるような過程です。ある人がＸ軸上を動くものとします。時刻０にはＸ軸の原点にその人はいるとします。ここで１回、コインを投げて、裏か表かでどちらに移動するかを決めます。裏ならば $-a$ 、表ならば $a$ だけＸ軸上を動くとします。つまりそれぞれ１／２の確率で $-a$ または $a$ だけ移動するとします。動き終わったら、またコインを投げて同じように動く方向を決めます。これを繰り返していくと、この人は不規則に動くことになります。コインを $k$ 回目に投げた結果その人が動き終って今いる位置（Ｘ座標）を $x$ で表し、 $k$ を横軸、 $x$ を縦軸にとったものが、ランダムウォークのグラフになります。たとえば $a=1$ とした場合、下図のようになります。

図３

$k$ 回目の移動後の位置を $X(k)$ で表すことにします。すると、 $X(k)$ は確率変数になります。まず $X(1)$ の平均と分散を求めてみましょう。平均 $E(X(1))$ は明らかに

$E(X(1))=0$ ・・・・・（２３）

分散 $Var(X(1))$ は

$Var(X(1))=\frac{(a-0)^2+(-a-0)^2}{2}=a^2$ ・・・・・（２４）

となります。次に $E(X(2))$ と $Var(X(2))$ を考えて見ます。これは

$X(2)=X(1)+X(1)$

と考えられるので、２つの独立で同一確率分布に従う確率変数の和ですから

$E(X(2))=0$ ・・・・・（２５）
$Var(X(2))=2a^2$ ・・・・・（２６）

となります。同様に考えて $X(k)$ については

$E(X(k))=0$ ・・・・・（２７）
$Var(X(k))=ka^2$ ・・・・・（２８）

となります。（２８）から $X(k)$ の標準偏差 $STD(X(k))$ は

$STD(X(k))=a\sqrt{k}$ ・・・・・（２９）

つまり、 $k$ が増えるにつれて標準偏差はどんどん大きくなります。

$X(k)$ の値が $x$ である確率を $f(x,k)$ で表すことにします。今、 $X(k+1)=x$ であったとします。これは $k$ の時に $X(k)=x-a$ で１／２の確率で $a$ 進んだ場合と $k$ の時に $X(k)=x+a$ で１／２の確率で $-a$ 進んだ場合の両方の場合の結果として考えられます。よって