拡散近似（６） - 工場統計力学（建設中！）

$a\sqrt{t}$

のブラウン運動でした。しかし、私たちが近似したい待ち行列の客数の変化の仕方（過程）は、「拡散近似（３）」で示したように、平均

$m_Q=(u-1)\frac{m}{t_e}s$ ・・・・・（２１）

分散（＝標準偏差の２乗）

$\sigma_Q^2=\left(\frac{c_a^2}{t_a}+\frac{mc_e^2}{t_e}\right)s$ ・・・・・（２２）

を持つ過程でした。「拡散近似（５）」で得たブラウン運動の縦軸（ $x$ ）の原点を変えることでゼロでない平均のブラウン運動を得ることは出来ます。しかし（２１）に示された平均は時間 $t$ の経過とともに線形に減っていく平均でした。これに対して「拡散近似（５）」で得たブラウン運動は時間 $t$ が経過しても平均が変化しないブラウン運動です。時間 $t$ の経過とともに平均が線形に減っていくブラウン運動を得るためには、 $x$ の代わりに、

$y=x+bt$

と $t$ を用いればよいでしょう。このようにして得たブラウン運動 $B_2(t)$ の平均は $bt$ になるはずです。
分かりやすくするために、古い座標を $(t,x)$ 、新しい座標を $(\tau,y)$ で表し

$y=x+bt$ ・・・・・（４２）
$\tau=t$ ・・・・・（４３）

と置きます。すると

図５

だったものが

図６

に変換されます。（ $\tau$ 軸は $y=0$ であるような直線ですから（４２）から直線 $x=-bt$ になることに注意しましょう。）

では、このブラウン運動が満たす微分方程式を求めていきます。「拡散近似（５）」の式

$\frac{{\partial}p(x,t)}{{\partial}t}=\frac{a^2}{2}\frac{{\partial}^2p(x,t)}{{\partial}x^2}$ ・・・・・（４０）

を変数 $y$ と $\tau$ で表すことにします。

$q(y,\tau)=p(x,t)$ ・・・・・（４４）

とおきます。（４２）（４３）を念頭におけば

$\frac{{\partial}p(x,t)}{{\partial}t}=\frac{{\partial}q(y,\tau)}{{\partial}y}\frac{{\partial}y}{{\partial}t}+\frac{{\partial}q(y,\tau)}{{\partial}\tau}\frac{{\partial}\tau}{{\partial}t}=b\frac{{\partial}q(y,\tau)}{{\partial}y}+\frac{{\partial}q(y,\tau)}{{\partial}\tau}$ ・・・・・（４５）

次に

$\frac{{\partial}p(x,t)}{{\partial}x}=\frac{{\partial}q(y,\tau)}{{\partial}y}\frac{{\partial}y}{{\partial}x}+\frac{{\partial}q(y,\tau)}{{\partial}\tau}\frac{{\partial}\tau}{{\partial}x}=\frac{{\partial}q(y,\tau)}{{\partial}y}$ ・・・・・（４６）

（４６）から

$\frac{{\partial}^2p(x,t)}{{\partial}x^2}=\frac{{\partial}^2q(y,\tau)}{{\partial}y^2}$ ・・・・・（４７）

（４５）と（４７）を（４０）に代入すれば、

$b\frac{{\partial}q(y,\tau)}{{\partial}y}+\frac{{\partial}q(y,\tau)}{{\partial}\tau}=\frac{a^2}{2}\frac{{\partial}^2q(y,\tau)}{{\partial}y^2}$
$\frac{{\partial}q(y,\tau)}{{\partial}\tau}=\frac{a^2}{2}\frac{{\partial}^2q(y,\tau)}{{\partial}y^2}-b\frac{{\partial}q(y,\tau)}{{\partial}y}$