拡散近似（５） - 工場統計力学（建設中！）

図３

上図のようなランダムウォークのグラフの縦軸と横軸を縮小してブラウン運動のグラフを得ます。しかし、縦軸と横軸を同じスケールで縮小すると、ただの $x=0$ のグラフになってしまいます。というのは式（２９）

$STD(X(k))=a\sqrt{k}$ ・・・・・（２９）

から

$STD(X(100k))=10a\sqrt{k}=10STD(X(k))$

となり、横軸を１／１００に縮小しても、それは縦軸の１／１０の縮小にしかならないからです。そこで、上のランダムウォークの縦軸を $1/T$ 倍にし、横軸を $1/\sqrt{T}$ 倍にします。すると下図

図２

のようなブラウン運動のグラフを得ることが出来ます。このブラウン運動を $B(t)$ で表すことにします。こうして得られたブラウン運動 $B(t)$ はもちろん各時刻においての値が確率的に変動します。ですから $B(t)$ の値が $x$ である確率密度 $p(x,t)$ を考えることが出来ます。今度はこれを求めます。これを求めるためにもう一度「拡散近似（４）」で考えたランダムウォーク $X(k)$ に戻ります。

$X(k)$ の値が $x$ である確率を $f(x,k)$ で表すことにします。今、 $X(k+1)=x$ であったとします。これは $k$ の時に $X(k)=x-a$ で１／２の確率で $a$ 進んだ場合と $k$ の時に $X(k)=x+a$ で１／２の確率で $-a$ 進んだ場合の両方の場合の結果として考えられます。よって

$f(x,k+1)=f(x-a,k){\times}\frac{1}{2}+f(x+a,k){\times}\frac{1}{2}$

つまり

$f(x,k+1)=\frac{f(x-a,k)+f(x+a,k)}{2}$ ・・・・・（３０）

となります。ここから

$2f(x,k+1)=f(x-a,k)+f(x+a,k)$
$2\{f(x,k+1)-f(x,k)\}=f(x-a,k)+f(x+a,k)-2f(x,k)$
$2\{f(x,k+1)-f(x,k)\}=\{f(x+a,k)-f(x,k)\}-\{f(x,k)-f(x-a,k)\}$
$f(x,k+1)-f(x,k)=\frac{1}{2}[\{f(x+a,k)-f(x,k)\}-\{f(x,k)-f(x-a,k)\}]$ ・・・・・（３１）

ここで回数 $k$ の代わりに時刻 $t$ を導入します。

$t=\frac{k}{T}$ ・・・・・（３２）
$y=\frac{x}{\sqrt{T}$ ・・・・・（３３）

とおいて、あとで $T\rightar{\infty}$ にすることでブラウン運動の式を導き出します。

まず（３１）に（３２）（３３）を代入して

- $=\frac{1}{2}[\{f(\sqrt{T}y+a,Tt)-f(\sqrt{T}y,Tt)\}-\{f(\sqrt{T}y,Tt)-f(\sqrt{T}y-a,Tt)\}]$ ・・・・・（３４）

ここで

$p(y,t)=f(\sqrt{T}y,Tt)$ ・・・・・（３５）

とおけば、式（３４）は

$p\left(y,t+\frac{1}{T}\right)-p(y,t)=\frac{1}{2}\left[\{p\left(y+\frac{a}{\sqrt{T}},t\right)-p(y,t)\}-\{p(y,t)-p\left(y-\frac{a}{\sqrt{T}},t\right)\}\right]$ ・・・・・（３６）

ここでさらに、

$\frac{1}{T}=\Delta{t}$ ・・・・・（３７）
$\frac{a}{\sqrt{T}}=\Delta{y}$ ・・・・・（３８）

とおけば

$p(y,t+\Delta{t})-p(y,t)=\frac{1}{2}[\{p(y+\Delta{y},t)-p(y,t)\}-\{p(y,t)-p(y-\Delta{y},t)\}]$

よって

$\frac{p(y,t+\Delta{t})-p(y,t)}{\Delta{t}}=\frac{\Delta{y}^2}{2\Delta{t}}\frac{\frac{p(y+\Delta{y},t)-p(y,t)}{\Delta{y}}-\frac{p(y,t)-p(y-\Delta{y},t)}{\Delta{y}}}{\Delta{y}}$ ・・・・・・（３９）

ここで $T\rightar{\infty}$ とすると

$\frac{p(y,t+\Delta{t})-p(y,t)}{\Delta{t}}{\rightar}\frac{{\partial}p(y,t)}{{\partial}t}$
$\frac{\frac{p(y+\Delta{y},t)-p(y,t)}{\Delta{y}}-\frac{p(y,t)-p(y-\Delta{y},t)}{\Delta{y}}}{\Delta{y}}{\rightar}\frac{{\partial}^2p(y,t)}{{\partial}y^2}$

さらに、（３７）と（３８）から

$\frac{\Delta{y}^2}{2\Delta{t}}=\frac{a^2}{T}\frac{T}{2}=\frac{a^2}{2}$

なので式（３９）から

$\frac{{\partial}p(y,t)}{{\partial}t}=\frac{a^2}{2}\frac{{\partial}^2p(y,t)}{{\partial}y^2}$

となります。この式の変数 $y$ を $x$ で書き換えれば

$\frac{{\partial}p(x,t)}{{\partial}t}=\frac{a^2}{2}\frac{{\partial}^2p(x,t)}{{\partial}x^2}$ ・・・・・（４０）

式（４０）の解は

$p(x,t)=\frac{1}{a\sqrt{2{\pi}t}}\exp\left(-\frac{(x-x_0)^2}{2a^2t}\right)$ ・・・・・（４１）

になります（ただし $x_0$ は積分定数）。これは平均 $x_0$ 、標準偏差 $a\sqrt{t}$ の正規分布の式です。つまり「拡散近似（４）」で登場した二項分布が極限において正規分布になった訳です。

式（４１）が（４０）の解であることは、（４１）を代入することで確かめることが出来ます。まず（４０）の左辺は

- $=-\frac{1}{2t}p(x,t)+\frac{(x-x_0)^2}{2a^2t^2}p(x,t)=\frac{(x-x_0)^2-a^2t}{2a^2t^2}p(x,t)$

次に（４０）の右辺を求めるためにまず

$\frac{{\partial}p(x,t)}{{\partial}x}=-\frac{(x-x_0)}{a^2t}\frac{1}{a\sqrt{2{\pi}t}}\exp\left(-\frac{(x-x_0)^2}{2a^2t}\right)= -\frac{(x-x_0)}{a^2t}p(x,t)$

これをさらに $x$ で微分して

$\frac{{\partial}^2p(x,t)}{{\partial}x^2}=-\frac{1}{a^2t}p(x,t)+\frac{(x-x_0)^2}{a^4t^2}p(x,t)=\frac{(x-x_0)^2-a^2t}{a^4t^2}p(x,t)$

よって、（４０）が成り立つことが分かります。

「拡散近似（６）」に続きます。