ＧＩ／Ｇ／ｍにおける待ち時間の近似式の導出メモ

「Factory Physics」ではＧＩ／Ｇ／ｍにおける平均待ち時間の近似式として

を提示しています。しかし、その理由を「Factory Physics」は明らかにしていません。ここでは、私の推測する理由を紹介します。

ＧＩ／Ｇ／ｍにおける平均待ち時間の近似式に課せられるいくつかの条件を考えます。すると次のようなものがあります。

１）　Ｍ／Ｍ／ｍの時に、 $CT_{q(M/M/m)}$ に一致すること
２）　Ｍ／Ｇ／１の時に、
- $CT_q=\left(\frac{1+c_e^2}{2}\right)\frac{u}{1-u}$ ・・・・・（２）
- と一致すること。（「Ｍ／Ｇ／１における待ち時間の式の導出（１）」参照）
３）　重負荷極限定理（「拡散近似（８）」参照）
- $\lim_{u{\rightar}1}(1-u)CT_q=\frac{c_a^2+c_e^2}{2m}t_e$ ・・・・・（３）
- を満たすこと。

式（１）は、これらの条件１）〜３）を満たすものとして導出されたと考えられます。

まず１）を満たすことは、Ｍ／Ｍ／ｍでは、

なので、これらを（１）に代入すれば

になるので明らかです。

次に２）を満たすことは、Ｍ／Ｇ／１では、

なので、これらを（１）に代入すれば

なので

式（２）と一致します。

ただし

$p_0=\frac{1}{\Bigsum_{i=\0}^{m-\1}\left{\frac{(mu)^i}{i!}\right}+\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}}$ ・・・・・（６）

です。（６）から

$\frac{p_0}{1-u}=\frac{1}{\Bigsum_{i=\0}^{m-\1}\left{\frac{(mu)^i}{i!}(1-u)\right}+\frac{(mu)^m}{m!}}$ ・・・・・（７）

ここで $u\rightar{1}$ とすると分母の最後の項だけが残るので

$\lim_{u\rightar{1}}\frac{p_0}{1-u}=\frac{1}{\frac{(mu)^m}{m!}}=\frac{m!}{(mu)^m}$ ・・・・・（８）

（１）と（５）から

よって

$(1-u)CT_q=\left(\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\right)\frac{m^{m-1}u^m}{m!(1-u)}{p_0}{t_e}$

よって

$\lim_{u\rightar{1}}(1-u)CT_q=\left(\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\right){t_e}\lim_{u\rightar{1}}\frac{m^{m-1}u^m}{m!(1-u)}{p_0}$ ・・・・・（９）

ここで（８）を考慮すると

$\lim_{u\rightar{1}}(1-u)CT_q=\left(\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\right){t_e}\lim_{u\rightar{1}}\frac{m^{m-1}u^m}{m!}\frac{m!}{(mu)^m}$
$\lim_{u\rightar{1}}(1-u)CT_q=\left(\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\right){t_e}\lim_{u\rightar{1}}\frac{1}{m}$
$\lim_{u\rightar{1}}(1-u)CT_q=\left(\frac{c_a^2+c_e^2}{2m}\right)t_e$

よって（３）を満足します。

以上で、式（１）が決められた理由の推測を終ります。