装置台数が増えると待ち時間が小さくなる

待ち行列理論

「Ｍ／Ｇ／∞の出発過程がポアソン過程であることの証明の試み（１）」〜「（３）」で装置台数が無限になると待ち時間がなくなることを四苦八苦して説明してきましたが、ここではＭ／Ｍ／ｍに待ち行列を限定して、ｍ（＝装置台数）が増えると、待ち時間がどのように短くなっていくかを計算によって見てみたいと思います。計算結果を下のグラフに示します。

計算は、「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（１）」で示した

  • CT_q=\frac{m^{m-1}u^m}{m!(1-u)^2}{p_0}{t_e}・・・・・・（１）
    • CT_q：キューでの待ち時間
    • u：装置の利用率
    • m：装置台数
    • t_e：装置の平均処理時間
    • ここにp_0はm台の装置が全て空いている確率を表し、
      • p_0=\frac{1}{\Bigsum_{i=\0}^{m-\1}\left{\frac{(mu)^i}{i!}\right}+\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}}

を用いています。
ｍが増えていくと待ち時間が少なくなる様子が分かると思います。ただし、利用率uが１になると無限大に発散するのは、いくら台数を増やしても変わりません。


以上はＭ／Ｍ／ｍの場合でしたが、処理時間が指数分布（Ｍ）でなくて一般の分布（Ｇ）の場合でも、装置台数が多くなれば、待ち時間は減っていくようです。そのことの証明をすっきりお見せ出来るとよいのですが、今の私には、まだ出来ません。


「Ｍ／Ｍ／２で空いている装置がある確率」に続きます。