「サイバネティックス」という本の「第２章　群と統計力学」（８）

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その次はこれを検討します。

したがって $f^*(x)$ がほとんど常にとる値は、
$\Bigint_0^1f(x)dx$
となる。

どうして「したがって」なのでしょう？　以下は私の推測です。

$T$ は保測変換なので

$\Bigint_0^1f(Tx)dx=\Bigint_0^1f(x)dx$

よって、任意の自然数 $n$ について

$\Bigint_0^1f(T^nx)dx=\Bigint_0^1f(x)dx$ ・・・・・（１）

ところで

　(2.21)

であったので、この両辺をxに関して積分し、式（１）を用いると

$\Bigint_0^1f_N(x)dx=\frac{1}{N+1}\Bigsum_{n=0}^N\Bigint_0^1f(T^nx)dx=\frac{1}{N+1}\Bigsum_{n=0}^N\Bigint_0^1f(x)dx=\Bigint_0^1f(x)dx$

ここで $N\rightar\infty$ とすると $f^*(x)$ の定義から

$f_N(x)\rightar{f^*(x)}$

になるので

$\Bigint_0^1f^*(x)dx=\Bigint_0^1f(x)dx$

ところが $f^*(x)dx$ はほとんど常に（つまり測度１の $x$ の集合について）一定なので

$\Bigint_0^1f^*(x)dx=f^*(x)$

よって

$f^*(x)=\Bigint_0^1f(x)dx$ ・・・・・（２）

この式の左辺は「「サイバネティックス」という本の「第２章　群と統計力学」（４）」の最後で示したように、無限時間での平均です。一方、右辺は集合 $E$ における平均です。これで

時間平均＝集合平均

を示すことが出来ました。

こうして、ギブスが位相平均を時間平均でおきかえたことが正当化される

わけです。

それにしても、実際の統計力学への適用において、変換 $T$ が集合 $E$ において「測度可遷的」であるかどうかが問題になります。その問題は私には手に負えないので、ひとまず、おいておきます。
それよりもまず、集合 $E$ が統計力学において何を意味し、点 $x$ や変換 $T$ が何を意味するのかを、説明しておくべきでしょう。この本「サイバネティックス」ではその部分が抜けております。では、次は、それについて（浅学を省みず）ご説明します。

「「サイバネティックス」という本の「第２章　群と統計力学」（９）」に続きます。