「サイバネティックス」という本の「第２章　群と統計力学」（９）

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エルゴード理論を統計力学の基礎にするためには、集合 $E$ が１次元の線分では不十分で、もっと多次元にしてやらなければなりません。
ギブズ、そしてボルツマンの統計力学では、解析力学のやり方を踏襲しています。それは、素朴なニュートン力学のやり方と空間の考え方が異なっています。たとえば２つの粒子からなる系を考えるとします。素朴なニュートン力学では、３次元の空間を考え、片方の粒子の座標をたとえば

$(x_1,y_1,z_1)$

で表し、もう一方の粒子の座標を

$(x_2,y_2,z_2)$

で表し、この２組の座標が時間 $t$ の関数であるように表します。つまり３次元空間の中に２つの点があって、それぞれが時間とともに動いていくイメージです。

しかし、解析力学では、

$x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2$

さらに、それらに対応する運動量

$p_{x1},p_{y1},p_{z1},p_{x2},p_{y2},p_{z2}$

を合わせた１２個の座標を用い、１２次元の中の１点で、その系の力学的な状態を表します。本当は、ここでは位置は通常のユークリッド座標ではなく、もっと一般化した座標を採用することが可能です。これを一般化座標と言います。その場合は、その選んだ一般化座標に対応した一般化運動量を選ばなければなりません。このことは今の主題とは関係ないのでこれ以上、追求しません。重要なことは２粒子からなる系の状態を１２次元の中の１点で表していて、この点が時間とともに動いていく、という「現実の世界とは異なる」見方をするということです。

よって $n$ 個の粒子から成る系は、３次元空間の中の $n$ 個の点で表されるのではなく、仮想的な $6n$ 次元空間（これを解析力学では位相空間と呼んでいます。）の中の１点で表されます。多数の粒子からなる系がたった１つの点として表され、その時間の経過による変化が、その点の動きとして表されるわけです。この点の動きを決めるのはハミルトンの正準方程式という方程式です。この方程式はもちろん、ニュートンの方程式から導き出されるのですが、このような多数の粒子からなる系の動きを解析するのに便利な形をしています。ハミルトンの正準方程式によって、時刻 $t$ の時にある位置 $x$ にあった点が時刻 $t+\tau$ の時にどの位置にくるかを計算することが出来ます。その位置を $x'$ と表すとすると、 $x$ から $x'$ の変換を考えることが出来、この変換が保測変換になっていることが「リウヴィル（Liouville）の定理（時間変換で位相空間内の任意の領域の体積が変わらない）」という定理によって証明されます。

もう少し補足すると、 $x$ は時間の経過につれて $6n$ 次元のどの点（の近傍）にも向かうのではありません。エネルギー保存の法則がありますから、 $6n$ 次元のうち、エネルギーが一定の面（面と言っても２次元ではなく、 $6n-1$ 次元なわけですが）の上のみを移動します。さらに、もしその系で角運動量などが保存されている場合には、さらに次元が小さくなります。そのような、点が動き回る可能性のある領域を、今までの議論での集合 $E$ と考えるわけです。その領域全体の体積（＝測度）を１と見なすことが可能です。 $E$ の中で、系がある性質を持っている点の集合 $A$ を考えます。その集合は $E$ 内にちらばっているかもしれません。たとえば、数直線の０から１までの間に有理数がちらばっているようにです。そのように点が散らばっている場合は通常の体積で考えるのではなく、測度で考えるべきです。全体集合 $E$ の測度を１とします。そして集合 $A$ の測度を $m(A)$ とします。すると $0{\le}m(A){\le}1$ です。この系が上に述べた「ある性質」を持っている確率を計算したいとします。ある性質を持っているとは点が集合 $A$ 内に入った時のことを意味しています。ここで $x$ の関数 $f(x)$ を考え、

$x{\in}A$ の時 $f(x)=1$
$x{\not{\in}}A$ の時 $f(x)=0$

であると定義します。そうすると、確率は平均の問題に変換出来ます。つまり $A$ 内にいる確率を求めることは、関数 $f(x)$ の平均を求めることと同じです。

さて $x$ は時間 $t$ の経過につれて変化するのでした。よって、 $x$ を $t$ の関数という意味で $x(t)$ と表すことにします。関数 $f(x)$ の平均は、本来の意味では時間平均、つまり

${\bar{f(x)}=\lim_{T\rightar{\infty}}\frac{1}{T}\Bigint_0^{T}f(x(t))dt$ ・・・・・（１）

であるべきです。しかし、これを計算するのはハミルトンの正準方程式を解くことになり、これは粒子の数が増えると非常に大変になります。ところで、ある点を、その $\tau$ 後の点に変換する変換は保測変換であることが分かっています。さらにこの変換が測度可遷的であることが分かっていたとすれば、バーコフのエルゴード定理から（１）を計算する代わりに、集合 $E$ 内での $x$ による $f(x)$ の平均つまり

$\Bigint_Ef(x)dx$ ・・・・・（２）

を計算すれば（１）の結果と等しくなることが言えます。（２）は $f(x)$ の定義から

$\Bigint_Ef(x)dx=m(A)$ ・・・・・（３）

になりますので、結局

$\lim_{T\rightar{\infty}}\frac{1}{T}\Bigint_0^{T}f(x(t))dt=m(A)$ ・・・・・（４）

と計算することが出来ます。
時間平均の代わりに集合平均を計算して、それを時間平均の結果であると考える、ここに統計力学のミソがあるわけです。そのための根拠がエルゴード理論です。

「第３章　時系列、情報および通信」でウィーナーが通信の理論を展開する時に、このエルゴード理論の枠組みが奇妙な形で再利用されます。それによって通信工学と統計力学の奇妙な並行関係が現れてきます。これがウィーナーの主張したいことの一つです。それについては「第３章　時系列、情報および通信（５）」および「（９）」を参照下さい。

「「サイバネティックス」という本の「第２章　群と統計力学」（１０）」に続きます。