「サイバネティックス」という本の「第３章　時系列、情報および通信」（７）

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さてここで話が少し変わって、ウィーナーが若い頃から研究してきたブラウン運動、実際には理想化された、無限小の時間に変動するブラウン運動、すなわちウィーナー過程という時系列についての紹介が始まります。ウィーナー過程はランダムウォークの極限として得られます。そこで最初にランダムウォークの簡単な説明をします。

ランダムウォークは１回ごとに次にどちらに進むのかを確率的に決めるような過程です。ある人がＸ軸上を動くものとします。時刻０にはＸ軸の原点にその人はいるとします。ここで１回、コインを投げて、裏か表かでどちらに移動するかを決めます。裏ならば $-a$ 、表ならば $a$ だけＸ軸上を動くとします。つまりそれぞれ１／２の確率で $-a$ または $a$ だけ移動するとします。動き終わったら、またコインを投げて同じように動く方向を決めます。これを繰り返していくと、この人は不規則に動くことになります。コインを $k$ 回目に投げた結果その人が動き終って今いる位置（Ｘ座標）を $x$ で表し、 $k$ を横軸、 $x$ を縦軸にとったものが、ランダムウォークのグラフになります。たとえば $a=1$ とした場合、下図のようになります。

図１

$k$ 回目の移動後の位置を $X(k)$ で表すことにします。すると、 $X(k)$ は確率変数になります。まず $X(1)$ の平均と分散を求めてみましょう。平均 $E(X(1))$ は明らかに

$E(X(1))=0$ ・・・・・（７）

分散 $Var(X(1))$ は

$Var(X(1))=\frac{(a-0)^2+(-a-0)^2}{2}=a^2$ ・・・・・（８）

となります。次に $E(X(2))$ と $Var(X(2))$ を考えて見ます。これは

$X(2)=X(1)+X(1)$

と考えられるので、２つの独立で同一確率分布に従う確率変数の和ですから

$E(X(2))=0$ ・・・・・（９）
$Var(X(2))=2a^2$ ・・・・・（１０）

となります。同様に考えて $X(k)$ については

$E(X(k))=0$ ・・・・・（１１）
$Var(X(k))=ka^2$ ・・・・・（１２）

となります。（１２）から $X(k)$ の標準偏差 $STD(X(k))$ は

$STD(X(k))=a\sqrt{k}$ ・・・・・（１３）

つまり、 $k$ が増えるにつれて標準偏差はどんどん大きくなります。

$X(k)$ の値が $x$ である確率を $f(x,k)$ で表すことにします。今、 $X(k+1)=x$ であったとします。これは $k$ の時に $X(k)=x-a$ で１／２の確率で $a$ 進んだ場合と $k$ の時に $X(k)=x+a$ で１／２の確率で $-a$ 進んだ場合の両方の場合の結果として考えられます。よって

$f(x,k+1)=f(x-a,k){\times}\frac{1}{2}+f(x+a,k){\times}\frac{1}{2}$

つまり

$f(x,k+1)=\frac{f(x-a,k)+f(x+a,k)}{2}$ ・・・・・（１４）

Excelにこの式を入れて、 $f(x,k)$ のを実際に求めてみました。その一部を下に示します。

図２

この表から、 $k$ が増えるにつれて標準偏差がどんどん大きくなる様子が分かります。（これは二項分布そのものです。）
ウィーナー過程は図１のようなランダムウォークのグラフの縦軸と横軸を縮小して得られます。しかし、縦軸と横軸を同じスケールで縮小すると、ただの $x=0$ のグラフになってしまいます。というのは式（１３）から