閉鎖型待ち行列ネットワークの到着定理（２）

「閉鎖型待ち行列ネットワークの到着定理（１）」の続きです。

前回「（１）」では、下図

図２

のようなネットワークでしかもジョブが２個存在する場合についてのみ到着定理が成り立つことを確かめた。これを一般化していかなければならない。まず、図２のネットワークのままで、ジョブの数を３つにしてみよう。そうすると状態遷移図は

図６

のようになる。そしてステーション１へのジョブの到着は下図の黒矢印で表わされる。

図７

これらの黒矢印は左から順に、到着時にステーション１に（自分を含めなくて）ジョブが２個、１個、０個ある場合を示す。そしてそれぞれの確率は状態(2,1)、(1,2)、(0,3)の定常状態確率に比例する。これはそれぞれ

図４

での状態(2,0)、(1,1)、(0,2)の状態確率の比に等しい。しかも図４においてはこれら３つの状態確率の和は１になるから状態(2,0)、(1,1)、(0,2)の状態確率とジョブがステーション１へ到着した時のステーション１の状態の確率は等しいことになる。よって、ステーション１に到着するジョブが見るステーション１のジョブ数の確率分布は、ネットワーク内のジョブ数が２の時の定常状態でのステーション１のジョブ数の確率分布と同じである。つまり到着定理が成り立つ。

同様に考えていけば図２の形の待ち行列ネットワークについて、任意のジョブ数について到着定理が成り立つことが分かる。

では、装置が３台直列に並んだ閉鎖型待ち行列ネットワーク

図８

ではどうなるだろうか？　まずジョブが１個の場合の状態遷移図は

図９

となる。ジョブが２個の場合の状態遷移図は少しややこしくなるが

図１０

となる。ここでステーション１への到着を表す遷移は下図の黒矢印である。

図１１

ジョブ到着時ステーション１に別のジョブがある場合は、一番左の黒矢印に対応し、ステーション１が空いている場合は、中央と、一番右の黒矢印に対応する。この３つの遷移の発生確率の比は状態(1,0,1)、(0,1,1)、(0,0,2)の定常状態確率の比と等しくなり、さらにそれは図９における状態(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)の定常状態確率の比に等しくなる。さらに状態(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)の定常状態確率の和は１になるので図１１の３つの黒矢印の遷移の発生確率は図９における状態(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)の定常状態確率に等しい。さらに、状態(1,0,0)に対応する黒矢印はステーション１に別のジョブがある場合に対応し、状態(0,1,0)と(0,0,1)に対応する黒矢印はステーション１が空である場合に対応するので、よって、ステーション１に到着するジョブが見るステーション１のジョブ数の確率分布は、ネットワーク内のジョブ数が１の時の定常状態でのステーション１のジョブ数の確率分布と同じである。つまり到着定理が成り立つ。
あとは、図２のネットワークの場合と同様に考えていけば図８の形の待ち行列ネットワークについて、任意のジョブ数について到着定理が成り立つことが分かる。

それにしても装置が１台増えただけで図が急速に複雑になったので、もっと一般的な証明の方法を見つける必要がある。

「閉鎖型待ち行列ネットワークの到着定理（３）」に続きます。