閉鎖型待ち行列ネットワークの到着定理（４）

待ち行列ネットワークへの助走

「閉鎖型待ち行列ネットワークの到着定理（３）」の続きです。

  • 図１２

上記の生産ラインで、ライン内にジョブが２個ある場合には到着定理が成り立つことが分かりました。これはたまたまそうなったのでしょうか？　それを調べるために今回は生産ライン内にジョブが３個の場合を調べてみます。３個の場合の状態遷移図は以下のようになります。

  • 図１５


今度は、図１５の

  • \frac{1}{t_{e2}}p(2,1):\frac{2}{t_{e2}}p(1,2):\frac{2}{t_{e2}}p(0,3)・・・・・（１３）

と図１４の

  • p(2,0):p(1,1):p(0,2)・・・・・（１４）

の２つの比が同じであるかどうかを確かめることになります。図１５の黄緑色の矢印における平衡関係から

  • p(2,1)\frac{1}{t_{e1}}=p(1,2)\frac{2}{t_{e2}}

よって

  • p(2,1)=p(1,2)\frac{2t_{e1}}{t_{e2}}・・・・・（１５）

今度は図１５の青色の矢印における平衡関係から

  • p(1,2)\frac{1}{t_{e1}}=p(0,3)\frac{2}{t_{e2}}

よって

  • p(1,2)=p(0,3)\frac{2t_{e1}}{t_{e2}}・・・・・（１６）

式（１３）に（１５）と（１６）を適用すると

  • \frac{1}{t_{e2}}p(2,1):\frac{2}{t_{e2}}p(1,2):\frac{2}{t_{e2}}p(0,3)=p(2,1):2p(1,2):2p(0,3)
    • =p(1,2)\frac{2t_{e1}}{t_{e2}}:2p(1,2):2p(0,3)=p(0,3)\frac{4t_{e1}^2}{t_{e2}^2}:p(0,3)\frac{4t_{e1}}{t_{e2}}:2p(0,3)
    • =\frac{2t_{e1}^2}{t_{e2}^2}:\frac{2t_{e1}}{t_{e2}}:1=2t_{e1}^2:2t_{e1}t_{e2}:t_{e2}^2・・・・・（１７）

一方、図１４の赤の矢印における平衡関係から

  • p(2,0)\frac{1}{t_{e1}}=p(1,1)\frac{1}{t_{e2}}

よって

  • p(2,0)=p(1,1)\frac{t_{e1}}{t_{e2}}・・・・・（１８）

式（１４）に「[（３）]」で登場した（７）

  • p(1,1)=p(0,2)\frac{2t_{e1}}{t_{e2}}・・・・・（７）

と（１８）を適用すると

  • p(2,0):p(1,1):p(0,2)=p(1,1)\frac{t_{e1}}{t_{e2}}:p(1,1):p(0,2)=p(0,2)\frac{2t_{e1}^2}{t_{e2}^2}:p(0,2)\frac{2t_{e1}}{t_{e2}}}:p(0,2)
    • =\frac{2t_{e1}^2}{t_{e2}^2}:\frac{2t_{e1}}{t_{e2}}}:1=2t_{e1}^2:2t_{e1}t_{e2}:t_{e2}^2・・・・・（１９）

式（１７）と（１９）から

  • \frac{1}{t_{e2}}p(2,1):\frac{2}{t_{e2}}p(1,2):\frac{2}{t_{e2}}p(0,3)=p(2,1):2p(1,2):2p(0,3)=p(2,0):p(1,1):p(0,2)・・・・・（２０）

よってジョブが３個の場合も到着定理が成り立つことが分かります。


「閉鎖型待ち行列ネットワークの到着定理（５）」に続きます。