閉鎖型待ち行列ネットワークの到着定理（５）

「閉鎖型待ち行列ネットワークの到着定理（４）」の続きです。

次に下図

• 図１６
• 

のような生産ラインを考えます。そして装置１へジョブが到着した時の、ネットワーク全体の状態（到着するジョブを除く）の確率分布を調べます。今回の場合は、装置２からも装置３からも装置１へジョブが到着します。

まず、ネットワーク内にジョブが１個だけある場合の状態遷移図です。これは以下のようになります。

• 図１７
• 

次に、ネットワーク内にジョブが２個ある場合の状態遷移図は以下のようになります。

• 図１８
• 

さて、今回の場合、比較するのは図１８における

• ・・・・・（２１）

と図１７における

• ・・・・・（２２）

になります。式（２１）を以下の２つに分解します。

• ・・・・・（２３）
• ・・・・・（２４）

（２３）と（２４）がそれぞれ（２２）に等しければ、（２１）も（２２）に等しいことになるでしょう。

まず（２３）については、図１８の緑の矢印における平衡関係から

• 

と

• 

よって

• ・・・・・（２５）
• ・・・・・（２６）

（２５）と（２６）を（２３）に代入して

• 
  • ・・・・・（２７）

次に（２４）については、図１８の青の矢印における平衡関係から

• 

と

• 

よって

• ・・・・・（２８）
• ・・・・・（２９）

（２８）と（２９）を（２４）に代入して

• 
  • ・・・・・（３０）

さらに（２２）については、図１７における平衡関係から

• 

と

• 

から

• ・・・・・（３１）
• ・・・・・（３２）

（３１）と（３２）を（２２）に代入して

• ・・・・・（３３）

（２７）と（３０）と（３３）が等しい比であることが判明したので

• 
  • ・・・・・（３４）

ここまで確かめたところで、一般の閉鎖型ジャクソンネットワークについて到着定理の証明の検討を始めます。

「閉鎖型待ち行列ネットワークの到着定理（６）」に続きます。