閉鎖型待ち行列ネットワークの到着定理（６）

では、一般の閉鎖型ジャクソンネットワークについて到着定理の証明を述べていきます。
まず、ジョブの到着を監視するステーションをステーション１とすることにします。証明すべき事柄は、

定理１
- ネットワーク全体にジョブがＳ個あるとして、ステーション１にジョブが到着する時のシステム全体の状態（到着するジョブを除く）の確率分布が、このネットワーク全体にジョブがＳ−１個ある場合の定常状態確率分布に等しい。

ということです。

さて、ステーション１にジョブを供給するステーションは、（例えば「（５）」での図１６のように）複数存在します。しかし、「（５）」でも行なったようにこの中の任意１つのステーションを取り出して、これにについて考えることにします。これをステーションｑと呼ぶことにします。そして次の補題を検討します。

補題１
- ネットワーク全体にジョブがＳ個あるとして、ステーションｑからステーション１にジョブが到着する時のシステム全体の状態（到着するジョブを除く）の確率分布が、このネットワーク全体にジョブがＳ−１個ある場合の定常状態確率分布に等しい。

補題１が成立すれば定理１が成立することは明らかです。

ネットワーク全体にジョブがＳ−１個あるとして、その任意の状態を取り出して $\vec~k$ で表します。ただし $\vec~k$ は $k_i$ からなるベクトルで、 $k_i$ はステーション $i$ でのジョブ数です。
次に、状態 $\vec~k$ に比べてステーション１だけが１個ジョブ数が多い状態を $\vec~k(1:+1)$ で表します。また、状態 $\vec~k$ に比べてステーションｑだけが１個ジョブ数が多い状態を $\vec~k(q:+1)$ で表します。状態 $\vec~k(q:+1)$ から状態 $\vec~k(1:+1)$ への遷移は、ネットワーク全体にジョブがＳ個ある場合において、ジョブがステーションｑから出発してステーション１に到着する遷移を表しています。この時、この到着するジョブは状態 $\vec~k$ を見ることになります。全体でジョブがＳ−１個の場合の状態 $\vec~k$ の定常状態確率を $P(\vec~k)$ で表すことにします。また、全体でジョブがＳ個の場合の状態 $\vec~k(q:+1)$ の定常状態確率を $p(\vec~k(q:+1))$ で表すことにします。時間 $dt$ の間の状態 $\vec~k(q:+1)$ から状態 $\vec~k(1:+1)$ への遷移の確率は

$\frac{\min(k_q+1,m_q)}{t_{eq}}p(\vec~k(q:+1))dt$ ・・・・・（３５）

となります。ただし $m_q$ はステーションｑの装置台数です。

今度は状態 $\vec~k$ に比べてステーションｑのジョブ数が１個多く、ステーションｉのジョブ数が１個少ない状態を考え、これを $\vec~k(i:-1,q:+1)$ で表します。次に、状態 $\vec~k(i:-1,q:+1)$ に比べてステーション１だけが１個ジョブ数が多い状態を $\vec~k(1:+1,i:-1.q:+1)$ で表します。また、状態 $\vec~k(i:-1,q:+1)$ に比べてステーションｑだけが１個ジョブ数が多い状態を $\vec~k(i:-1,q:+2)$ で表します。状態 $\vec~k(i:-1,q:+2)$ から状態 $\vec~k(1:+1,i:-1.q:+1)$ への遷移は、ネットワーク全体にジョブがＳ個ある場合において、ジョブがステーションｑから出発してステーション１に到着するもうひとつの遷移を表しています。この時、この到着するジョブは状態 $\vec~k(i:-1,q:+1)$ を見ることになります。時間 $dt$ の間の状態 $\vec~k(i:-1,q:+2)$ から状態 $\vec~k(1:+1,i:-1.q:+1))$ への遷移の確率は

$\frac{\min(k_q+2,m_q)}{t_{eq}}p(\vec~k(i:-1,q:+2))dt$ ・・・・・（３６）

となります。
（３５）と（３６）の比が $P(\vec~k)$ と $P(\vec~k(i:-1,q:+1)$ の比に等しいことを証明すれば、補題１の証明に一歩近づきます。

「閉鎖型待ち行列ネットワークの到着定理（７）」に続きます。