閉鎖型待ち行列ネットワークの到着定理（８）

「閉鎖型待ち行列ネットワークの到着定理（７）」の続きです。

補題２を導出する過程で $i=1$ にしてもこの導出が成立することに注意して下さい。また、補題２から状態 $\vec~k$ と $\vec~k(i:+1.q:-1)$ の間でも同様な関係が成り立つことが分かります。

補題３
- ネットワーク全体でジョブがＳ個ある場合に、ステーション１にジョブが到着する際、そのジョブが見る状態が $\vec~k$ である確率と $\vec~k(i:+1,q:-1)$ である確率の比は、ネットワーク全体でジョブがＳ−１個ある場合の $P(\vec~k)$ と $P(\vec~k(i:+1,q:-1))$ の比に等しい。

さらに、状態 $\vec~k$ と $\vec~k(i:-1,j:+1)$ （ただし $i{\neq}q$ 、 $j{\neq}q$ ）について考えます。そして

補題４
- ネットワーク全体でジョブがＳ個ある場合に、ステーション１にジョブが到着する際、そのジョブが見る状態が $\vec~k$ である確率と $\vec~k(i:-1,j:+1)$ である確率の比は、ネットワーク全体でジョブがＳ−１個ある場合の $P(\vec~k)$ と $P(\vec~k(i:-1,j:+1))$ の比に等しい。

が成り立つかどうかを調査します。遷移確率の比は

$\frac{\frac{\min(k_q+1,m_q)}{t_{eq}}p(\vec~k(i:-1,j:+1,q:+1))dt}{\frac{\min(k_q+1,m_q)}{t_{eq}}p(\vec~k(q:+1))dt}=\frac{p(\vec~k(i:-1,j:+1,q:+1))}{p(\vec~k(q:+1))}$ ・・・・・（４９）

となります。式（４４）を状態 $\vec~k(q:+1)$ と $\vec~k(i:-1,j:+1,q:+1)$ に適用すれば

$\frac{p(\vec~k(i:-1,j:+1.q:+1))}{p(\vec~k(q:+1))}=\frac{\min(k_i,m_i)m_ju_j}{\min(k_j+1,m_j)m_iu_i}$ ・・・・・（５０）

式（５０）を（４９）に代入して

$\frac{\frac{\min(k_q+1,m_q)}{t_{eq}}p(\vec~k(i:-1,j:+1,q:+1))dt}{\frac{\min(k_q+1,m_q)}{t_{eq}}p(\vec~k(q:+1))dt}=\frac{min(k_i,m_i)m_ju_j}{min(k_j+1,m_j)m_iu_i}$ ・・・・・（５１）

次に式（４４）を状態 $\vec~k$ と $\vec~k(i:-1,j:+1)$ に適用すれば

$\frac{P(\vec~k(i:-1,j:+1))}{P(\vec~k)}=\frac{min(k_i,m_i)m_ju_j}{min(k_j+1,m_j)m_iu_i}$ ・・・・・（５２）

式（５１）と（５２）から

$\frac{\frac{\min(k_q+1,m_q)}{t_{eq}}p(\vec~k(i:-1,j:+1,q:+1))dt}{\frac{\min(k_q+1,m_q)}{t_{eq}}p(\vec~k(q:+1))dt}=\frac{P(\vec~k(i:-1,j:+1))}{P(\vec~k)}$ ・・・・・（５３）

よって補題４が成り立ちます。

ネットワーク全体でジョブがＳ−１個ある場合の全ての状態は、合計ジョブ数が一定なので、ステーション $i$ 、 $j$ 、 $q$ の間でジョブ数を１つ移す操作を繰り返すことによって、任意の状態から別の任意の状態に変換することが出来ます。（ $i$ は１を含むことに注意）　よって補題２、３，４から次の補題が導かれます。

補題５
- ネットワーク全体でジョブがＳ個ある場合に、ステーション１にジョブが到着する際、そのジョブが見る状態が $\vec~k$ である確率と $\vec~w$ である確率の比は、ネットワーク全体でジョブがＳ−１個ある場合の $P(\vec~k)$ と $P(\vec~w)$ の比に等しい。

最後に、ネットワーク全体でジョブがＳ個ある場合に、ステーション１にジョブが到着する際、そのジョブが見る状態の確率の合計は１であり、ネットワーク全体でジョブがＳ−１個ある場合の状態の確率の合計も１であることと、補題５から

補題１
- ネットワーク全体にジョブがＳ個あるとして、ステーションｑからステーション１にジョブが到着する時のシステム全体の状態（到着するジョブを除く）の確率分布が、このネットワーク全体にジョブがＳ−１個ある場合の定常状態確率分布に等しい。

が導かれます。補題１から

定理１
- ネットワーク全体にジョブがＳ個あるとして、ステーション１にジョブが到着する時のシステム全体の状態（到着するジョブを除く）の確率分布が、このネットワーク全体にジョブがＳ−１個ある場合の定常状態確率分布に等しい。

が導かれます。これで一般の閉鎖型ジャクソンネットワークについて到着定理の証明が出来ました。