プル生産システムのモデル化を目指して（６）

TOC 待ち行列ネットワークへの助走

「プル生産システムのモデル化を目指して（５）」の続きです。


「（５）」では装置が４台直列に並んだ生産ラインについてプル方針の場合の利用率uとX-Factor、xの関係を求めました。ここではこれを少し拡張して、装置がN台直列に並んだ場合のプル方針下におけるu−x関係式を求めます。


ネットワーク内にジョブがw個あるとします。装置１にジョブが到着する際、到着定理から装置１で処理中または待っているジョブ数の平均値は

  • \frac{w-1}{N}・・・・・（２６）

になります。今、処理中のジョブの残り処理時間の平均はt_eであり、待っているジョブの平均処理時間もt_eであるので、今、到着したジョブの装置１での平均待ち時間は式（２６）から

  • \frac{w-1}{N}t_e

になります。よって、このジョブのこのステーションでのサイクルタイムは

  • \frac{w-1}{N}t_e+t_e=\frac{w+N-1}{N}t_e

になります。よってライン全体のサイクルタイムCT(w)は

  • CT(w)=(w+N-1)t_e・・・・・（２７）

になります。この時のX-Factor、x(w)は式（２７）から

  • x(w)=\frac{w+N-1}{N}・・・・・（２８）

になります。ＷＩＰはwなので、スループットTH(w)はリトルの法則から

  • TH(w)=\frac{w}{CT(w)}=\frac{w}{(w+N-1)t_e}・・・・・（２９）

になります。よって

  • u(w)=\frac{w}{(w+N-1)t_e}t_e=\frac{w}{w+N-1}・・・・・（３０）

となります。式（３０）をwについて解くと

  • wu(w)+(N-1)u(w)=w
  • (N-1)u(w)=(1-u(w))w
  • w=\frac{(N-1)u(w)}{1-u(w)}・・・・・（３１）

これを式（２８）に代入すると

  • x(w)=\frac{\frac{(N-1)u(w)}{1-u(w)}+N-1}{N}=\frac{N-1}{N}\left(\frac{u(w)}{1-u(w)}+1\right)=\frac{N-1}{N}\frac{1}{1-u(w)}

この式はwの値に関係なく成立するのでwを省略して

  • x=\frac{N-1}{N}\frac{1}{1-u}・・・・・（３２）

これが、装置がN台直列に並んだ生産ラインをプル方針で運用した場合のu−x関係式です。


一方、同じ構成の生産ラインをプッシュ方針で運用した場合のu−x関係式は、「プル生産システムのモデル化を目指して（２）」とほぼ同じように検討して

  • x=\frac{1}{1-u}・・・・・（３３）

となります。


（３２）と（３３）を比べると、プルにするとX-Factoerを

  • \frac{N-1}{N}・・・・・（３４）

倍に縮小する効果があることが分かります。