ＧＩ／Ｇ／１待ち行列の平均待ち時間の式 - 工場統計力学（建設中！）

「Marshallの公式に向けて（１）」で引用した「待ち行列における近似モデル　逆瀬川浩孝氏」の一節

５．平均値の近似
　混雑の指標として、何かの特性量の期待値だけを知りたい（求めたい）という場合がある。システム全体の解析を経ることなく、簡単な計算によって、そのような指標が求められるならば、いろいろなパラメータを動かした時の変化の様子を調べて最適なパラメータを選ぶという作業が容易になるであろう。たとえば単一窓口モデルＧＩ／Ｇ／１の待ち時間を考えてみよう。 $n$ 番目に到着した客の待ち時間を $W_n$ 、サービス時間を $B_n$ 、 $n$ 番目と $n+1$ 番目の客の到着間隔を $A_n$ とすれば、

$W_{n+1}=\max(0,W_n+B_n-A_n){\equiv}(W_n+B_n-A_b)^+$

という関係が成り立つ。適当な条件のもとで $W_n$ は $n$ を大きくすると平衡状態での待ち時間 $W$ に収束し、平均待ち時間は上の式を使って、

$EW=\frac{Var(U)}{2E(-U)}-\frac{Var(Y)}{2E(-U)}$

（ただし、 $U=B-A$ 、 $Y=-\min(0,W+U)$ ）

と表すことが出来る。

について、「Marshallの公式に向けて（１）」を書いた時点（2009/2/16)では、なぜ

$W_{n+1}=\max(0,W_n+B_n-A_n){\equiv}(W_n+B_n-A_b)^+$ ・・・・・（１）

から

$EW=\frac{Var(U)}{2E(-U)}-\frac{Var(Y)}{2E(-U)}$ ・・・・・（２）

が成り立つのか理解出来ていませんでした。しかし、最近「講義ノート7章--応用確率過程特論のヘルプページ（2008年版）--逆瀬川浩孝」を読んで（２）の導出の仕方が分かりました。それをここに記します。

まず、

$U_n=B_n-A_n$ ・・・・・（３）
$Y_n=-\min(0,W_n+U_n)$ ・・・・・（４）

と置きます。（１）と（３）から

$W_{n+1}=\max(0,W_n+U_n)$

これを変形すると

$W_{n+1}=W_n+U_n-\min(0,W_n+U_n)$

ここで（４）を用いると

$W_{n+1}=W_n+U_n+Y_n$ ・・・・・（５）

式（４）から

$Y_n{\ge}0$

です。これを $Y_n>0$ の場合と $Y_n=0$ の場合に分けて考えます。

ならば
- $Y_n=-(W_n+U_n)$
- よって（５）から
- $W_{n+1}=0$
ならば
- （５）から
- $W_{n+1}=W_n+U_n$

よっていずれの場合も

$Y_nW_{n+1}=0$ ・・・・・（６）

ここで確率変数 $W_n,U_n,Y_n$ が $n\rightar\infty$ でそれぞれ確率変数 $W,U,Y$ に収束すると仮定する。式（５）の平均（集合平均）をとり、 $n\rightar\infty$ とすると

$EW=EW+E(U)+E(Y)$

よって

$0=E(U)+E(Y)$
$E(Y)=-E(U)$ ・・・・・（７）

（５）から

$W_{n+1}-Y_n=W_n+U_n$

両辺を２乗して

$W_{n+1}^2-2Y_nW_{n+1}+Y_n^2=W_n^2+2W_nU_n+U_n^2$

ここで（６）を用いると

$W_{n+1}^2+Y_n^2=W_n^2+2W_nU_n+U_n^2$

両辺の平均をとると

$E(W_{n+1}^2)+E(Y_n^2)=E(W_n^2)+2E(W_nU_n)+E(U_n^2)$ ・・・・・（８）

ここで $E(W_nU_n)$ について考えると、 $W_n$ は $n$ 番目のジョブの待ち時間であり、 $U_n$ は $U_n=B_n-A_n$ であり、 $B_n$ は $n$ 番目のジョブの処理時間、 $A_n$ は $n$ 番目のジョブと $n+1$ 番目のジョブの到着時刻の差であるので、 $W_n$ と $B_n$ は独立であり、 $W_n$ と $A_n$ も独立である。よって $W_n$ と $U_n$ は独立です。よって