分布関数

確率論

確率論における分布関数とは、確率変数Tがある値t以下である確率を示す関数のことを言います。T{\le}tである確率を

  • P(T{\le}t)

で表すと、分布関数F(t)は

  • F(t)=P(T{\le}t)

で表すことが出来ます。この定義から、確率密度関数をf(t)で表せば

  • F(t)=\Bigint_{-\infty}^tf(\tau)d\tau・・・・・（１）

と表すことが出来ることが分かります。さらに式（１）から

  • f(t)=\frac{dF}{dt}・・・・・（２）

の関係があることも分かります。また定義から

  • F(-\infty)=0・・・・・（３）
  • F(\infty)=1・・・・・（４）

です。もしtの定義域がt{\ge}0であれば、式（３）は

  • F(0)=0・・・・・（５）

になります。


分布関数の例

以下の例ではtの定義域がt{\ge}0であるとします。
一様分布

  • [0,a]の範囲の一様分布のf(t)は
    • 0{\le}t{\le}aの時、f(t)=\frac{1}{a}
    • それ以外の時、f(t)=0
  • で表されます。よって分布関数F(t)は
    • 0{\le}t{\le}aの時、F(t)=\frac{t}{a}
    • t>aの時、F(t)=1

指数分布

  • f(t)=\lambda\exp(-\lambda{t})
  • よって
  • F(t)=\Bigint_0^t\lambda\exp(-\lambda\tau)=\left[-\exp(-\lambda\tau)\right]_0^t=1-\exp(-\lambda\tau)
  • よって
  • F(t)=1-\exp(-\lambda\tau)・・・・・（６）

２次のアーラン分布

  • f(t)=\lambda^2t\exp(-\lambda{t})
  • よって
  • F(t)=\Bigint_0^t\lambda^2\tau\exp(-\lambda\tau)d\tau=\left[-\lambda\tau\exp(-\lambda\tau)\right]_0^t-\Bigint_0^t(-\lambda)\exp(-\lambda\tau)d\tau0
    • =-\lambda{t}\exp(-\lambda{t})+\Bigint_0^t\lambda\exp(-\lambda\tau)d\tau=1-\exp(-\lambda{t})-\lambda{t}\exp(-\lambda{t})
  • よって
  • F(t)=1-\exp(-\lambda{t})-\lambda{t}\exp(-\lambda{t})