ほぼ等間隔の系列の重ね合せ系列の２乗変動係数（１）

待ち行列理論

ほぼ等間隔でイベントが発生する系列を３つ重ね合わせて作った系列のイベントの間隔の２乗変動係数を求めてみます。

  • ほぼ等間隔という言葉を使ったのは、「つなぎの式の導出（４）」の考察に寄与することを目指しているためです。
  • イベントという言葉は抽象的な「出来事」を意味します。それはジョブの到着でもよいですし、ジョブの処理終了でもよいです。

重ね合わせる前の３つの系列を系列１、２、３と名前をつけておきます。また、１つの系列におけるイベントの間隔の長さは２乗変動係数の値に影響しませんので（２乗変動係数は無次元の値なので）ここでは間隔の長さを１とします。系列１でイベントが発生した時点を１つ取り出し、そこをt=0にとります。次に系列１でイベントが発生するのはt=1の時です。t=0からt=1の間に系列２と３のイベントが１回だけ発生するはずです（系列２，３もそれぞれ間隔１を持つほぼ等間隔の系列ですから）。しかし系列１と系列２のイベントのズレ、そして系列１と系列３のイベントのズレは、長期間には変動し*1、[0,1]の間のどの長さのズレも等しい確率で実現されると考えられます。ここで、t=0から系列２または３のどちらか早いほうのイベントまでの間隔がどのような分布になるか探っていきます。

  • 図１

ところで、上の図における他の２つの間隔については探らなくてもよいのでしょうか？　つまり

  • 図２

や

  • 図３

の間隔がどんな分布になるかを調べる必要はないのでしょうか？　実は、これらの３つの間隔の分布は皆、同じになります。その理由は図２や図３の赤矢印で示した間隔は、ある系列のイベントからそのイベントに続く最も早い別の系列のイベントへの間隔という意味では、図１における赤矢印で示した間隔と実質的に同等です。系列１，２，３は全て同等ですから、これらの間隔の分布も図１における間隔の分布と同じになります。*2　そうすると図１の間隔の２乗変動係数を求めれば、それが重ね合わせた系列のイベントの間隔の２乗変動係数になることが分かります。


系列２のイベントも系列３のイベントも[0,1]の間を一様分布で分布しています。そこで、これらのうちどちらか早いほうまでのイベントの間隔の分布を求めるには「min(X,Y)の確率密度関数」で考えた手法を応用すればよいです。つまり、系列２と３のイベントの分布関数F(t)を求め、2f(t)[1-F(t)]を求めればよいことになります。まず系列２のイベントの確率密度関数f(t)は

  • f(t)=1

になりますので、分布関数F(t)は

  • F(t)=t・・・・・（１）

になります。よって図１の間隔の確率密度関数g(t)は

  • g(t)=2f(t)[1-F(t)]=2(1-t)・・・・・（２）

図１の間隔を示す確率変数をTで表すと、

  • E(T)=\Bigint_0^1tg(t)dt=2\Bigint_0^1t(1-t)dt=2\Bigint_0^1(t-t^2)dt
    • =2\left[\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3}\right]_0^1=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}

よって

  • E(T)=\frac{1}{3}・・・・・（３）

よく考えてみれば１の長さの線分を３つに分けた線分の平均を求めていることになりますから、これは当たり前の結果です。次に

  • E(T^2)=\Bigint_0^1t^2g(t)dt=2\Bigint_0^1t^2(1-t)dt=2\Bigint_0^1(t^2-t^3)dt
    • =2\left[\frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{4}\right]_0^1=2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{6}

よって

  • E(T^2)=\frac{1}{6}・・・・・（４）

よって変動V(T)は

  • V(T)=E(T^2)-E(T)^2=\frac{1}{6}-\frac{1}{9}=\frac{1}{18}

よって２乗変動係数c(3)^2は

  • c(3)^2=\frac{V(T)}{E(T)^2}=\frac{1}{18}{\cdot}9=\frac{1}{2}

と求めることが出来ます。ここでc(3)の3は３つの系列の重ね合せであることを表しています。


「ほぼ等間隔の系列の重ね合せ系列の２乗変動係数（２）」に続きます。

*1:これが「ほぼ等間隔」ということです

*2:これはこれら３つの間隔が独立であることを意味しません。これらの３つの間隔は同じ分布を持ちますが、互いに独立ではありません。それはこの３つの間隔を合計すると１にならなければならない、という条件から明らかです。