ほぼ等間隔の系列の重ね合せ系列の２乗変動係数（２）

「ほぼ等間隔の系列の重ね合せ系列の２乗変動係数（１）」の続きです。

今度は「ほぼ等間隔の系列の重ね合せ系列の２乗変動係数（１）」のやり方を拡張して、 $m$ 個のほぼ等間隔の系列を重ね合わせて出来た系列の２乗変動係数を求めてみます。
系列１でイベントの起きた時刻のうち１つを $t=0$ と置いて、[0,1]の間で次に起きるイベントまでの間隔を考えてみます。これらは $m-1$ 個の系列のいずれかに属するイベントであり、その中で最も早く発生したものです。つまり $t=0$ との間隔が最小のものです。 $m-1$ 個の系列をどれか１つ選んだ時、その系列のイベントが[0,1]で発生する時刻の分布は

$f(t)=1$

であり、その分布関数は

$F(t)=t$ ・・・・・（１）

でした。[0,1]の間で次に起きるイベントまでの間隔を示す確率変数を $T$ 、その分布関数を $G(t)$ とすると、「min(X,Y)の確率密度関数」の式（１）を参考にして、

$G(t)=1-[1-F(t)]^{m-1}$ ・・・・・（５）

が成り立ちます。この両辺を $t$ で微分すれば

$g(t)=(m-1)[1-F(t)]^{m-2}f(t)$ ・・・・・（６）

です。ただし、 $g(t)$ は $T$ の確率密度関数であり、

$g(t)=\frac{dG}{dt}$

です。（６）に（１）を代入すると

$g(t)=(m-1)(1-t)^{m-2}$ ・・・・・（７）

よって

$E(T)=\Bigint_0^1tg(t)dt=(m-1)\Bigint_0^1t(1-t)^{m-2}dt$ ・・・・・（８）

ここで

$x=1-t$ ・・・・・（９）

と置くと（８）の右辺は

- $=(m-1)\Bigint_0^1(x^{m-2}-x^{m-1})dx=(m-1)\left[\frac{x^{m-1}}{m-1}-\frac{x^m}{m}\right]_0^1$
- $=(m-1)(\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m})=1-\frac{m-1}{m}=\frac{1}{m}$

よって

$E(T)=\frac{1}{m}$ ・・・・・（１０）

次に

$E(T^2)=\Bigint_0^1t^2g(t)dt=(m-1)\Bigint_0^1t^2(1-t)^{m-2}dt$ ・・・・・（１１）

ここで（９）を用いれば（１１）の右辺は

- $=(m-1)\left[\frac{x^{m-1}}{m-1}-2\frac{x^m}{m}+\frac{x^{m+1}}{m+1}\right]_0^1=(m-1)\left(\frac{1}{m-1}-\frac{2}{m}+\frac{1}{m+1}\right)$
- $=1-\frac{2(m-1)}{m}+\frac{m-1}{m+1}=\frac{m(m+1)-2(m-1)(m+1)+(m-1)m}{m(m+1)}=\frac{2}{m(m+1)}$