２次のアーラン分布の系列の重ね合せ系列の２乗変動係数（１）

待ち行列理論

ここで考えたいのは２次のアーラン分布を重ねる場合です。
２次のアーラン分布では「アーラン分布」で示したように２乗変動係数 c^2は1/2です。また、２次のアーラン分布は「アーラン分布」で示したように、指数分布に従う確率変数 Xを２つ足して出来た確率変数の分布と考えることが出来ます。そこで下図のように２つの状態を持ち、状態２から１に移る時にイベントが発生するマルコフ過程を用いてモデル化することが出来ます。このモデルでは、イベントの発生源が今、状態１にあるとして時間 dtの間に状態２へ遷移する確率は \lambda{dt}であり、イベントの発生源が今、状態２にあるとした場合に時間dtの間に状態１へ遷移する確率も同じく\lambda{dt}であるとしています。

  • 図

さて、イベント発生間隔が同一の２次アーラン分布に従う２つの系列の重ね合せを検討します。２つの系列の名前を系列１、２とします。系列１でイベントが発生した時刻のうち一つを選んで、その時刻をt=0と置きます。この次に系列１あるいは２のいずれかにおいて発生するイベントまでの間隔を考えます。t=0の時の系列２の状態は図１の状態１か２のいずれかです。図１から２つの状態の定常状態確率は等しく１／２であることが分かります。さらに系列１と２は独立なので系列１でイベントが発生した時刻に系列２がどちらの状態にあるかは１／２の確率で決まることが分かります。


今、t=0で系列２が状態１であると仮定します。そうすると、それぞれの系列において次のイベントが発生するまでの間隔は、両方とも同じ２次のアーラン分布になります。
さてここで、平均k/\lambdaのk次のアーラン分布をf(t;k,\lambda)で表すことにします。すなわち

  • f(t;k,\lambda)=\frac{\lambda^kt^{k-1}}{(k-1)!}\exp(-\lambda{t})・・・・・（１）

です。そうすると、系列１での次のイベントまでの間隔の確率密度関数も系列２での次のイベントまでの間隔の確率密度関数も

  • f(t;2,\lambda)=\lambda^2t\exp(-{\lambda}t)・・・・・（２）

となります。f(t;k,\lambda)に対応する分布関数をF(t;k,\lambda)で表すことにします。f(t;2,\lambda)に対応するF(t;2,\lambda)は、

  • F(t;2,\lambda)=\Bigint_o^t\lambda^2\tau\exp(-\lambda\tau)d\tau=\left[-\lambda\tau\exp(-\lambda\tau)\right]_0^t+\Bigint_0^t\lambda\exp(-\lambda\tau)d\tau
    • =-\lambda{t}\exp(-\lambda{t})+\left[-\exp(-\lambda\tau)\right]_0^t=-\lambda{t}\exp(-\lambda{t})-\exp(-\lambda{t})+1

よって

  • F(t;2,\lambda)=-\lambda{t}\exp(-\lambda{t})-\exp(-\lambda{t})+1・・・・・（３）

よって、t=0からいずれか早いほうのイベントまでの間隔の分布の確率密度関数g_1(t)は、「min(X,Y)の確率密度関数」の式（２）から

  • g_1(t)=2f(t;2,\lambda)[1-F(t;2,\lambda)]=2\lambda^2t\exp(-\lambda{t})[\lambda{t}\exp(-\lambda{t})+\exp(-\lambda{t})]
    • =2\lambda^3t^2\exp(-2\lambda{t})+2\lambda^2t\exp(-2\lambda{t})=\frac{1}{2}\frac{(2\lambda)^3t^2}{2!}\exp(-2\lambda{t})+\frac{1}{2}(2\lambda)^2t\exp(-2\lambda{t})
    • =\frac{1}{2}[f(t;3,2\lambda)+f(t;2,2\lambda)]

よって

  • g_1(t)=\frac{1}{2}[f(t;3,2\lambda)+f(t;2,2\lambda)・・・・・（４）

となります。


今度は、t=0で系列２が状態２であると仮定します。そうすると、系列１での次のイベントまでの間隔の確率密度関数はf(t;2,\lambda)のままですが、系列２での次のイベントまでの間隔の確率密度関数は

  • f(t;1,\lambda)=\exp(-\lambda{t})・・・・・（５）

になります。f(t;1,\lambda)に対応するF(t;1,\lambda)は、

  • F(t;1,\lambda)=\Bigint_0^t\lambda\exp(-\lambda\tau)d\tau=\left[-\exp(-\lambda\tau)\right]_0^t=1-\exp(-\lambda{t})

よって

  • F(t;1,\lambda)=1-\exp(-\lambda{t})・・・・・（６）

よって、t=0からいずれか早いほうのイベントまでの間隔の分布の確率密度関数g_2(t)は、「min(X,Y)の確率密度関数」の式（２）から

  • g_2(t)=f(t;2,\lambda)[1-F(t;1,\lambda)]+f(t;1,\lambda)[1-F(t;2,\lambda)]
    • =\lambda^2t\exp(-\lambda{t})\exp(-\lambda{t})+\lambda\exp(-\lambda{t}[\exp(-\lambda{t})+\lambda{t}\exp(-\lambda{t})]
    • =\lambda^2t\exp(-2\lambda{t})+\lambda\exp(-2\lambda{t})+\lambda^2t\exp(-2\lambda{t})=2\lambda^2t\exp(-2\lambda{t})+\lambda\exp(-2\lambda{t})
    • =\frac{1}{2}(2\lambda)^2t\exp(-2\lambda{t})+\frac{1}{2}(2\lambda)\exp(-2\lambda{t})=\frac{1}{2}[f(t;2,2\lambda)+f(t;1,2\lambda)]

よって

  • g_2(t)=\frac{1}{2}[f(t;2,2\lambda)+f(t;1,\lambda)]・・・・・（７）

となります。


t=0では系列２の状態が状態１である確率が１／２、状態２である確率が１／２なので、系列２の状態に条件をつけない場合、t=0からいずれか早いほうのイベントまでの間隔の分布の確率密度関数g(t)は

  • g(t)=\frac{1}{2}[g_1(t)+g_2(t)]・・・・・（８）

になります。（８）に（４）と（７）を代入して

  • g(t)=\frac{1}{4}[f(t;3,2\lambda)+2f(t;2,2\lambda)+f(t;1,2\lambda)]・・・・・（９）

t=0からいずれか早いほうのイベントまでの間隔を確率変数Tで表します。E(T)は（９）と「アーラン分布」の式（１０）を用いて

  • E(T)=\frac{1}{4}\left[\frac{3}{2\lambda}+2\frac{2}{2\lambda}+\frac{1}{2\lambda}\right]=\frac{1}{\lambda}・・・・・（１０）

E(T^2)は（９）と「アーラン分布」の式（１１）を用いて

  • E(T^2)=\frac{1}{4}\left[\frac{12}{4\lambda^2}+2\frac{6}{4\lambda^2}+\frac{2}{4\lambda^2}\right]=\frac{13}{8\lambda^2}・・・・（１１）

よって変動V(T)は

  • V(T)=E(T^2)-E(T)^2=\frac{5}{8\lambda^2}

よって２乗変動係数c(2)^2は

  • c(2)^2=\frac{V(T)}{E(T)^2}=\frac{5}{8}・・・・・（１２）

これで２次のアーラン分布の系列を２つ重ね合わせた系列の間隔の２乗変動係数を求めることが出来ました。


「２次のアーラン分布の系列の重ね合せ系列の２乗変動係数（２）」に続きます。