２次のアーラン分布の系列の重ね合せ系列の２乗変動係数（２）

待ち行列理論

「２次のアーラン分布の系列の重ね合せ系列の２乗変動係数（１）」の続きです。


今度は２次のアーラン分布を３つ重ねた時の２乗変動係数 c^2を求めます。
３つの系列の名前を系列１、２、３とします。系列１でイベントが発生した時刻のうち一つを選んで、その時刻をt=0と置きます。この次に系列１、２あるいは３のいずれかにおいて発生するイベントまでの間隔を考えます。t=0の時の系列２の状態は確率１／２で図１の状態１、確率１／２で状態２です。また、系列３の状態も確率１／２で図１の状態１、確率１／２で状態２です。


今、t=0で系列２と３の状態が状態１であると仮定します。そうすると、それぞれの系列において次のイベントが発生するまでの間隔は、３つとも同じ２次のアーラン分布になります。よって、系列１でも２でも３でも、次のイベントまでの間隔の確率密度関数は

  • f(t;2,\lambda)=\lambda^2t\exp(-\lambda{t})・・・・・（２）

となります。分布関数F(t;2,\lambda)は、

  • F(t;2,\lambda)=-\lambda{t}\exp(-\lambda{t})-\exp(-\lambda{t})+1・・・・・（３）

になります。「min(X,Y)の確率密度関数」の式（１）を応用して考えると、系列１，２，３を区別せずにt=0から次のイベントまでの間隔の分布の分布関数G_{11}(t)]は

  • G_{11}=1-[1-F(t;2\lambda)]^3

となります。これをtで微分して

  • g_{11}(t)=3f(t;2,\lambda)[1-F(t;2,\lambda)]^2=3f(t;2,\lambda)[\lambda{t}\exp(-\lambda(-\lambda{t})+\exp(-\lambda{t})\)^2
    • =3f(t;2,\lambda)\exp(-2\lambda{t})(\lambda^2t^2+2\lambda{t}+1)=3\lambda^2t(\lambda^2t^2+2\lambda{t}+1)\exp(-3\lambda{t})
    • =3(\lambda^4t^3+2\lambda^3t^2+\lambda^2t)\exp(-3\lambda{t})=3\left(\frac{6}{3^4}\frac{(3\lambda)^4t^3}{3!}+\frac{4}{3^3}\frac{(3\lambda)^3t^2}{2!}+\frac{1}{3^2}(3\lambda)^2t\right)\exp(-3\lambda{t})
    • =\left(\frac{2}{3^2}\frac{(3\lambda)^4t^3}{3!}+\frac{4}{3^2}\frac{(3\lambda)^3t^2}{2!}+\frac{3}{3^2}(3\lambda)^2t\right)\exp(-3\lambda{t})
    • =\frac{1}{9}[2f(t;4.3\lambda)+4f(t;3,3\lambda)+3f(t;2,3\lambda)]

よって

  • g_{11}(t)=\frac{1}{9}[2f(t;4,3\lambda)+4f(t;3,3\lambda)+3f(t;2,3\lambda)]・・・・・（１３）


今度は、t=0で系列２が状態１、系列３が状態２であると仮定します。そうすると、系列１、２での次のイベントまでの間隔の確率密度関数はf(t;2,\lambda)のままですが、系列３での次のイベントまでの間隔の確率密度関数は

  • f(t;1,\lambda)=\lambda\exp(-\lambda{t})・・・・・（５）

になります。F(t;1,\lambda)は、

  • F(t;1,\lambda)=1-\exp(-\lambda{t})・・・・・（６）

よって、系列１，２，３を区別せずにt=0から次のイベントまでの間隔の分布の分布関数G_{12}(t)は「min(X,Y)の確率密度関数」の式（１）を応用して考えると、

  • G_{12}(t)=1-[1-F(t;2,\lambda)]^2[1-F(t;1,\lambda)]

となります。これをtで微分して

  • g_{12}(t)=2[1-F(t;2,\lambda)]f(t;2,\lambda)[1-F(t;1,\lambda)]+[1-F(t;2,\lambda)]^2f(t;1,\lambda)
    • =2[\lambda{t}\exp(-\lambda{t})+\exp(-\lambda{t})]\lambda^2t\exp(-\lambda{t})\exp(-\lambda{t})+[\lambda{t}\exp(-\lambda{t})+\exp(-\lambda{t})]^2\lambda\exp(-\lambda{t})
    • =2(\lambda{t}+1)\lambda^2t\exp(-3\lambda{t})+(\lambda{t}+1)^2\lambda\exp(-3\lambda{t})
    • =[2(\lambda{t}+1)\lambda^2t+(\lambda{t}+1)^2\lambda]\exp(-3\lambda{t})
    • =[2\lambda^3t^2+2\lambda^2t+\lambda^3t^2+2\lambda^2t+\lambda]\exp(-3\lambda{t})=(3\lambda^3t^2+4\lambda^2t+\lambda)\exp(-3\lambda{t})
    • =\left[\frac{3\cdot{2}}{3^3}\frac{(3\lambda)^3t^2}{2}+\frac{4}{3^2}(3\lambda)^2t+\frac{1}{3}(3\lambda)\right]\exp(-3\lambda{t})=\frac{1}{9}\left[2\frac{(3\lambda)^3t^2}{2}+4(3\lambda)^2t+3(3\lambda)\right]\exp(-3\lambda{t})
    • =\frac{1}{9}[2f(t;3,3\lambda)+4f(t;2,3\lambda)+3f(t;1,3\lambda)]

よって

  • g_{12}(t)=\frac{1}{9}[2f(t;3,3\lambda)+4f(t;2,3\lambda)+3f(t;1,3\lambda)]・・・・・（１４）

となります。
t=0で系列２が状態２、系列３が状態１である場合の、t=0から次のイベントまでの間隔の確率密度関数g_{21}(t)は、系列２と３が同等であることを考えれば

  • g_{21}(t)=g_{12}(t)・・・・・（１５）

であることが分かります。

「２次のアーラン分布の系列の重ね合せ系列の２乗変動係数（３）」に続きます。