２次のアーラン分布の系列の重ね合せ系列の２乗変動係数（３）

最後に、 $t=0$ で系列２と３の状態が状態２であると仮定します。そうすると、系列１での次のイベントまでの間隔の確率密度関数は $f(t;2,\lambda)$ のままですが、系列２、３での次のイベントまでの間隔の確率密度関数は

になります。 $F(t;1,\lambda)$ は、

よって、系列１，２，３を区別せずに $t=0$ から次のイベントまでの間隔の分布の分布関数 $G_{22}(t)$ は

となります。これを $t$ で微分して

- $=2\exp(-\lambda{t})\lambda\exp(-\lambda{t})[\lambda{t}\exp(-\lambda{t})+\exp(-\lambda{t})]+\exp(-\lambda{t})^2\lambda^2t\exp(-\lambda{t})$
- $2(\lambda{t}+1)\lambda\exp(-3\lambda{t})+\lambda^2t\exp(-3\lambda{t})=(2\lambda^2t+2\lambda+\lambda^2t)\exp(-3\lambda{t})$
- $=(3\lambda^2t+2\lambda)\exp(-3\lambda{t})=\left[\frac{1}{3}(3\lambda)^2t+\frac{2}{3}(3\lambda)\right]\exp(-3\lambda{t})$
- $=\frac{1}{3}[f(t;2,3\lambda)+2f(t;1,3\lambda)]$

よって

となります。

上記の４つの場合は、それぞれ１／４の確率で発生するので、系列２、３の状態に条件をつけない場合、 $t=0$ からいずれか早いほうのイベントまでの間隔の分布の確率密度関数 $g(t)$ は

になります。（１７）に（１３）（１４）（１５）（１６）を代入して

- $=\frac{1}{2{\cdot}9}[f(t;4,3\lambda)+4f(t;3,3\lambda)+7f(t;2,3\lambda)+6f(t;1,3\lambda)]$

よって

$g(t)=\frac{1}{18}[f(t;4,3\lambda)+4f(t;3,3\lambda)+7f(t;2,3\lambda)+6f(t;1,3\lambda)]$ ・・・・・（１８）

$t=0$ から次のイベントまでの間隔を確率変数 $T$ で表します。 $E(T)$ は（１８）と「アーラン分布」の式（１０）を用いて

$E(T)=\frac{1}{18}\left[\frac{4}{3\lambda}+4\frac{3}{3\lambda}+7\frac{2}{3\lambda}+6\frac{1}{3\lambda}\right]=\frac{1}{18}\left[\frac{4}{3\lambda}+\frac{12}{3\lambda}+\frac{14}{3\lambda}+\frac{6}{3\lambda}\right]=\frac{1}{18}\frac{36}{3\lambda}=\frac{2}{3\lambda}$

よって

$E(t^2)$ は（１８）と「アーラン分布」の式（１１）を用いて

$E(T^2)=\frac{1}{18}\left[\frac{20}{9\lambda^2}+4\frac{12}{9\lambda^2}+7\frac{6}{9\lambda^2}+6\frac{2}{9\lambda^2}\right]=\frac{1}{18}\left[\frac{20}{9\lambda^2}+\frac{48}{9\lambda^2+\frac{42}{9\lambda^2}+\frac{12}{9\lambda^2}\right\}=\frac{1}{18}\frac{122}{9\lambda^2}=\frac{1}{9}\frac{61}{9\lambda^2}=\frac{61}{81\lambda^2}$