Ｍ／Ｍ／１待ち行列のジョブのサイクルタイムの変動係数

これから、いろいろな待ち行列におけるジョブのサイクルタイムの変動係数を求めたいと思います。「待ち行列理論の私的総論」ではいろいろな待ち行列の平均を示しましたが、その変動係数までは言及していなかったからです。

まずは一番簡単なＭ／Ｍ／１待ち行列について検討します。Ｍ／Ｍ／１待ち行列については、すでに「Ｍ／Ｍ／１待ち行列のジョブのサイクルタイム分布」で変動係数だけではなくて分布の形そのものを求めていて、その結果は指数分布でした。このことからＭ／Ｍ／１待ち行列におけるジョブのサイクルタイムの変動係数は１であることが直接導かれます。しかし、他の種類の待ち行列にも応用することを予想して、ここでは別の方法で同じ結果を導出したいと思います。

ＰＡＳＴＡからジョブが待ち行列システムに到着した時、このシステムにジョブが（処理中のものと待っているものの両方を含めて） $k$ 個ある確率は、定常状態確率と等しくなります。つまり

$p(k)=(1-u)u^k$ ・・・・・（１）

になります。さて、このジョブがシステムを出るまでに自分を含めて $k+1$ 個のジョブが処理されなければなりません。この装置の処理時間の平均を $t_e$ で表します。処理時間は指数分布なので標準偏差も $t_e$ になります。このジョブが到着した時にすでに処理中であったジョブは、処理完了するまでに全体の処理時間の中の残り時間だけかかることになりますが、処理時間が指数分布なので、指数分布の「記憶なし」特性により、この残り時間の平均も $t_e$ 、標準偏差も $t_e$ となります。 $k+1$ 回の処理の時間の合計の平均は $(k+1)t_e$ になります。標準偏差は残念ながら $(k+1)t_e$ になりません。足し算になるのは標準偏差ではなくて分散でした（「独立な確率変数の和の分散」参照）。よって $k+1$ 回の処理の時間の合計の分散は $kt_e^2$ になります。これらのことを式にまとめておきましょう。
ジョブが到着した時、システム内にジョブが $k$ 個ある場合の、この到着したジョブのサイクルタイムは確率的に変動するので確率変数 $CT_k$ で表します。そうするとその平均は

$E(CT_k)=(k+1)t_e$ ・・・・・（２）

で表され、その分散は

$V(CT_k)=(k+1)t_e^2$ ・・・・・（３）

で表されます。

さて、ジョブが到着した時、システム内にジョブが $k$ 個ある確率は式（１）で与えられるので、全ての場合に渡って平均をとった、ジョブのサイクルタイムの平均 $E(CT)$ は、式（１）と（２）から

- $=(1-u)t_e\Bigsum_{k=1}^{\infty}ku^{k-1}$

ここで「補足」の式（２）を用いれば、

$(1-u)t_e\Bigsum_{k=1}^{\infty}ku^{k-1}=(1-u)t_e\frac{1}{(1-u)^2}=\frac{t_e}{1-u}$

よって

$E(CT)=\frac{t_e}{1-u}$ ・・・・・（４）

これはすでに得ているＭ／Ｍ／１のサイクルタイムの平均の式です。

同様にして全ての場合に渡ってのサイクルタイムの分散を求めたいところですが、全体の分散は個別の場合の分散の平均で求めることは出来ません。平均をとることが出来るのは分散ではなく２乗平均でした。さて、ジョブが到着した時、システム内にジョブが $k$ 個ある場合の $CT_k$ の２乗平均 $E(CT_k^2)$ は