5.2.2.バッチと端末の作業負荷：Quantitative System Performance

「5.2.1.トランザクション作業負荷」の続きです。（目次はこちら）

5.2.2.バッチと端末の作業負荷

　図５．１ａと５．１ｂはそれぞれバッチと端末の作業負荷におけるスループットと応答時間の漸近的境界の一般的な形を示している。境界は実際のスループットと応答時間の精密な値は図の影をつけた部分に位置しなければならないことを示している。一般的な形とこれらの値の位置は図内の曲線で示される。

図５．１ａ　性能の漸近的境界

図５．１ｂ　性能の漸近的境界

図に示した境界を導出するために、まずスループットについての境界を考察し、次にリトルの法則を用いてそれらを応答時間についての対応する境界に変換しよう。我々の解析は、端末作業負荷に関して述べる。考慮時間[tez:Z]をゼロと考えることにより、バッチ作業負荷についての結果を得る。
　重負荷（客が多い）状況から始めよう。システム内の客の数 $(N)$ が大きくなるにつれて、全てのセンターの稼動率が増加するが、明らかにどの稼動率も１を超えることは出来ない。稼動率の法則から、各々のセンター $k$ について以下が言える。

$U_k(N)=X(N)D_k{\le}1$

各々のセンターは、システムが達成出来る最大スループットを限界付ける。ボトルネック・センター $(max)$ は最初に飽和するものであるので、それはシステム・スループットを最も厳しく制限する。よって以下が言える。

$X(N){\le}\frac{1}{D_{max}}$

もし各々の客がボトルネック・センターで平均 $D_{max}$ 時間単位の処理を要求するならば、長期的には客は確かに、 $D_{max}$ 時間単位毎に１つより少しでも速く完了することは出来ないので、直感的に考えてこれは明白である。次に軽負荷（客が少ない）状況を考察しよう。極端な場合、システム内に１個だけの客は、個々の会話は処理時間（平均長さ $D=\Bigsum_{k=1}^KD_k$ の）と考慮時間（平均長さ $Z$ の）から成るので、 $1/(D+Z)$ のスループットを達成する。客がさらにシステムに追加されると、２つの境界的状況が現れる。

可能な最小スループットは、追加された各々の客がシステム内にすでにいる他の全ての客のうしろに待つことを強いられる場合に起こる。この場合、システム内に $N$ 個の客がいるとして、他の客のうしろに待って $(N-1)D$ 時間単位を費やし、 $D$ 時間単位を処理に費やし、 $Z$ 時間単位を考慮に費やすので、個々の客のスループットは $1/(ND+Z)$ である。よって、システム・スループットは $N/(ND+Z)$ である。

可能な最大のスループットは、追加された各々の客がシステムの他のどの客にもまったく待たせられない場合に起こる。この場合待ちにはまったく時間は費やされず、 $D$ 時間単位が処理に費やされ、 $Z$ 時間単位が考慮に費やされる。よって個々の客のスループットは $1/(D+Z)$ であり、システム・スループットは $N/(D+Z)$ である。

上の観察をシステム・スループットに関する漸近的境界としてまとめることが出来る。

$\frac{N}{ND+Z}{\le}X(N){\le}\min\left(\frac{1}{D_{max}},\frac{N}{D+Z}\right)$

楽観的境界は２つのコンポーネントから成ることに注意しよう。その１つは重負荷の元で適用し、その２つ目は軽負荷の元で適用する。図５．１が示すように、 $N*$ より小さい全ての $N$ について軽負荷楽観的境界が適用し、 $N*$ より大きい全ての $N$ について重負荷境界が適用するような特定の個数の大きさ $N*$ が存在する。交差する点は２つの境界の値が等しいところで起こる。つまり

$N*=\frac{D+Z}{D_{max}}$

リトルの法則を用いてスループット境界を変形することにより応答時間 $R(N)$ についての境界を得ることが出来る。先の式を書き直すことから始める。

$\frac{N}{ND+Z}\le\frac{N}{R(N)+Z}\le\min\left(\frac{1}{D_{max}},\frac{N}{D+Z}\right)$

$R(N)$ についての境界を表わすために個々のコンポーネントの逆数をとることにより、

$\max\left(D_{max},\frac{D+Z}{N}\right)\le\frac{R(N)+Z}{N}\le\frac{ND+Z}{N}$

すなわち

$\max(D,ND_{max}-Z){\le}R(N){\le}ND$

「5.2.3.漸近的境界のまとめ」に続きます。