6.4.2.1.厳密な解法：Quantitative System Performance - 工場統計力学（建設中！）

「6.4.2.クローズドモデル解法」の続きです。（目次はこちら）

6.4.2.1.厳密な解法
　厳密なＭＶＡ解法は２つの理由で重要である。

それは、そこから近似テクニックが導出された基礎である。

近似テクニックの不正確さについての既知の限界がない。通常それは真の解に比較して数パーセント以内の精度であるが、任意の特定の状況においてその結果がそれより悪くはないことを保証することが出来ない。

　厳密な解法は到着時待ち行列長 $A_k(N)$ を厳密に計算し、次に式(6.1)〜(6.3)を適用することを含んでいる。この方法を従順にしているクローズドの分割可能ネットワークの特徴は、 $A_k(N)$ が特に単純な形式を持っていることである。

$A_k(N)=Q_k(N-1)$ 　(6.4)

言い換えれば、ネットワーク内に客が $N$ 個ある場合のキューに到着時の待ち行列長は、ネットワーク内に１個だけ客が少ない場合の時間平均待ち行列長に等しい。１つの客がセンターに到着した瞬間には、この客自身は既にそのキューにはいないことは確かである。よって、新しい到着を潜在的に干渉することが出来るのは他の $N-1$ 個の客だけである。実際にキュー内にいる客の数は平均で、単に、ネットワーク内に客が $N-1$ 個だけいる場合のそこでの平均客数である。
　厳密ＭＶＡ解法は、アルゴリズム６．２に示すように、式(6.1)〜(6.4)の繰り返し適用を含んでいる。これらの式は、ネットワークに客は $n-1$ 個ある場合、 $n-1$ 個の客の時間平均デバイス待ち行列が与えられたとして、我々がシステム・スループットやデバイス滞在時間や時間平均デバイス待ち行列長を計算することを可能にする。繰り返しは、ネットワーク内に客がゼロの場合、全ての待ち行列長がゼロであるという観察から始まる。そのささいな解から、ネットワーク内に客が１個の場合の解を計算するために、式(6.1)〜(6.4)を用いることが出来る。ネットワーク内に客が１個の時の時間平均待ち行列長はネットワークに客が２個の場合の到着時待ち行列長に等しいので、個体数１について得られた解は個体数２での解を計算するのに使用出来る。式の継続的な適用が個体数３，４、．．． $N$ についての回を計算する。

for $k\leftar{1}$ to $K$ do $Q_k\leftar{0}$

for $n\leftar{1}$ to $N$ do

begin

for $k\leftar{1}$ to $K$ do

ディレイ・センターの場合　 $R_k\leftar{D_k}$

キューイング・センターの場合　 $R_k\leftar{D_k}(1+Q_k)$

$X\leftar\frac{n}{Z+\Bigsum_{k=1}^KR_k}$

for $k\leftar{1}$ to $K$ do $Q_k\leftar{XR_k}$

end

アルゴリズム６．２　厳密ＭＶＡ解法

図６．７　単一クラス解個体数前後関係

　図６．７は厳密ＭＶＡ解法を適用するのに必要な解の前後関係を示している。さっき述べたように、 $N$ 個の客のクローズド・モデルの解は $N-1$ 個の客の解を必要とする。そしてそれは $N-2$ 個の客の解を必要とする、など。よって、完全な解は、式(6.1)〜(6.4)の $N$ 回の適用を必要とする。式の $N$ 回の適用の各々は $K$ 個のサービスセンターに渡ってのループ処理を（何回も）要求するので、解の計算費用は $N$ と $K$ の積に比例して増加する。対照的にスペースの要求は約 $K$ 個の記憶場所である。というのは $n$ 個の客のネットワークについての性能尺度は一旦、 $n+1$ 個の客についての性能尺度を計算するのに使用されたならば捨てることが出来るからである。客１個から $N$ 個の間の全ての解は $N$ 個の解の副産物として計算されることに注意しよう。よって、これらの中間解を得るのに伴う余分な費用はない（もちろん、もしそれら全てが保持されることになるのであれば若干余分なスペースが必要であるが）。これは第８章で我々がフロー等価サービスセンターを検討する時に利用することになる解法の重要な特徴である。
　アルゴリズム６．２が終了すると、 $R_k$ 、 $X$ 、 $Q_k$ の値（全て個体数 $N$ について）が即座に使用可能である。他のモデル出力はリトルの法則を用いて得られる。まとめは以下の通り。

システム・スループット： $X$

システム応答時間： $N/X-Z$

システム内平均個数： $N-XZ$

デバイス $k$ スループット： $XV_k$

デバイス $k$ 稼動率： $XD_k$

デバイス $k$ 待ち行列長： $Q_k$

デバイス $k$ 滞在時間： $R_k$

クローズド・モデルの例（厳密解）
　表６．２は図６．６のネットワークをトランザクション・クラスを端末クラスで置き換えたものの解の計算を示している。処理要求時間 $D_{CPU}=0.605$ 秒、 $D_{Disk1=2.1$ 秒、 $D_{Disk2}=1.35$ 秒を持つ３つのセンターが存在する。端末クラスは３つの客（ $N=3$ ）と平均考慮時間１５秒（ $Z=15$ ）を持つ。アルゴリズムは客数ゼロのネットワークについての既知の解から始め、３までの引き続いてより大きい個体数 $n$ について $R_k(n)$ と $X(n)$ と $Q_k(n)$ を計算する。
　表６．２を研究する際、３つのセンターでの待ち行列長の合計が客の個体数に等しくないことに注意しよう。これは我々が端末タイプのクラスを扱っており、客の若干は「考慮中」であるからである。（アルゴリズム６．２は、その式の１つの中で考慮時間、 $Z$ を含むことによってこのことを考慮している。）　総客個体数、 $N$ 、からシステム内平均個数、 $Q=N-XZ$ 、を引くことによって我々は「考慮中」の客の平均個数を計算することが出来、 $XZ$ を得る（これはバッチ・クラスについてはゼロである）。

表６．２　厳密ＭＶＡ計算

モデル出力は $N=3$ についての結果から計算出来る。

$X(3)=0.152$

$R(3)=3/0.152-15.0=4.74$

$Q(3)=N-X(3)Z=3-0.152{\times}15=0.72$

$X_{CPU}(3)=X(3)V_{CPU}=0.152{\times}121=18.39$

$U_{CPU}(3)=X(3)D_{CPU}=0.152{\times}0.605=0.092$

$Q_{CPU}(3)=0.098$

$R_{CPU}(3)=0.64$

「6.4.2.2.近似の解法」に続きます。