6.4.2.2.近似の解法：Quantitative System Performance - 工場統計力学（建設中！）

「6.4.2.1.厳密な解法」の続きです。（目次はこちら）

6.4.2.2.近似の解法
　厳密ＭＶＡ解法のキーは式(6.4)であり、これは個体数 $n$ についての到着時待ち行列長を個体数 $n-1$ の時間平均待ち行列長に基づいて計算している。アルゴリズムの性質はこの関係の直接の結果である。
式(6.4)をある適切な関数 $h$ を用いた近似

$A_K(N){\approx}h\left[Q_k(N)\right]$

で置き換えることにより、より効率のよい、繰り返しアルゴリズムを得ることが出来る。（関数 $h$ は実際には $Q_k(N)$ 以外の値にも依存するだろう。例えば、我々が手短いに提案する近似もまた $N$ に依存する。しかし、簡潔さのためにこの記法を我々は用い、主要要求は $Q_k(N)$ であることを示唆する。）　そのアルゴリズムの精度はもちろん、使用する関数 $h$ の精度に依存する。　（ $h$ についての特定の選択は手短に示されることになる。）
　この一般的方法の概要はアルゴリズム６．３に示している。このアルゴリズムの時間とスペースの要求はセンターの数には依存するが評価しているネットワークの客の個体数には依存しないことが容易に分かる（間接的なのを除いて。収束のために必要な繰り返しの数は個体数によって影響を受けるだろう）。ＭＶＡ解法はセンターの数と客の数の積に比例する時間が必要であるので、これは厳密ＭＶＡ解法に対するかなりの改善である。

全てのセンター $k$ について初期化： $Q_k(N)\leftar\frac{N}{K}$

全てのセンター $k$ について近似： $A_k(N)\leftar{h}\left[Q_k(N)\right]$

（適切な関数 $h$ の選択は、文章の中で議論される。）

新しい一組の $Q_k(N)$ を計算するために式(6.3)、(6.1)、(6.2)を相次いで用いる。

ステップ３でもたらされる $Q_k(N)$ がステップ２で入力として用いた $Q_k(N)$ とある許容範囲（例えば、0.1%)内にないならば、新しい $Q_k(N)$ を用いてステップ２に戻る。

アルゴリズム６．３　近似ＭＶＡ解法

　このより速い解法に不可欠なのは関数 $h$ である。あいにく、全ての分離可能ネットワークについて正確であるような $h$ は知られていない。その代わり、近似を用いなければならない。特に単純でまあまあ正確な近似は以下である。

$A_k(N)=Q_k(N-1)$

$\approx{h}\left[Q_k(N)\right]$

$\equiv\frac{N-1}{N}Q_k(N)$ 　(6.5)

　式(6.5)は到着時待ち行列長の正確な値を客が１個少ない待ち行列長で近似することにより見積もる。この近似は、全ての $k$ について率 $\frac{Q_k(N)}{N}$ と $\frac{Q_k(N-1)}{N-1}$ が等しい、つまり、１個の客を取り除いたことで待ち行列長が短くなった量は客がその待ち行列長に寄与した量に等しい、という仮定に基づいている。一般に、この仮定は非常に正確である。特に、それは非常に大きな $N$ について漸近的に正確で、１個の客しかないモデルについて自明的に正しい（というのは、それは到着時待ち行列長はゼロであると予測するから）。よって、近似は２つの極端においてよい精度であることが保証されている。この解法での経験は、それが中間の個体数についても非常に良い結果を与えることを示している。この誤差はコンピュータ・システム解析過程に固有な他の不一致（例えば、パラメータの値の精度）の範囲の中に充分入るので、近似ＭＶＡ解法は一般的な解法として満足出来るものである。

クローズド・モデルの例（近似解）
　表６．３は先に厳密な解法を用いた同じ例に近似解法を適用することによって得られたデバイス待ち行列長についての一連の近似を示している。用いた停止基準は、連続する待ち行列長での0.001以内の一致であった。モデルの厳密解が比較のために表に示してある。（見かけの異常は、このモデル内のクラスは端末のタイプであるという事実によって引き起こされたことにもう一度注意しよう。我々は客を３つのセンターに等しく分配することで初期化している。繰り返しが進むにつれて、客は表から「消える」。繰り返しの結末では全体の客個体数とセンターでの待ち行列長の合計の間の差は「考慮中の」ユーザの数の平均を表わしている。

表６．３　近似ＭＶＡ計算

「6.5. 理論的基礎」に続きます。