7.4.1.オープン・モデル解法（２）：Quantitative System Performance

「7.4.1.オープン・モデルの解法（１）」の続きです。（目次はこちら）

システム応答時間

クラス $c$ 客についての応答時間、 $R_c(\vec{\lambda})$ 、はその全てのデバイスでの滞在時間の合計である。

$R_c(\vec{\lambda})=\Bigsum_{k=1}^KR_{c,k}(\vec{\lambda})$

システム内平均個数

システム内のクラス $c$ 客の平均個数はリトルの法則を用いて、あるいは全てのセンターでのクラス $c$ 待ち行列長を合計することによって、計算することが出来る。

$Q_c(\vec{\lambda})=\lambda_cR_c(\vec{\lambda})=\Bigsum_{k=1}^KQ_{c,k}(\vec{\lambda})$

これらの公式はアルゴリズム７．１としてまとめられた。

処理キャパシティ

$\max_k\left\{\Bigsum_{c=1}^C\lambda_cD_{c,k}\right\}<1$

スループット

$X_c(\vec{\lambda})=\lambda_c$

稼動率

$U_{c,k}(\vec{\lambda})=\lambda_cD_{c,k}$

滞在時間

ディレイ・センターでは

$R_{c,k}(\vec{\lambda})=D_{c,k}$

キューイング・センターでは

$R_{c,k}(\vec{\lambda})=\frac{D_{c,k}}{1-\Bigsum_{j=1}^CU_{j,k}(\vec{\lambda})}$

待ち行列長

$Q_{c,k}(\vec{\lambda})=\lambda_cR_{c,k}(\vec{\lambda})$

ディレイ・センターでは

$=U_{c,k}(\vec{\lambda})$

キューイング・センターでは

$=\frac{U_{c,k}(\vec{\lambda})}{1-\Bigsum_{j=1}^CU_{j,k}(\vec{\lambda})}$

システム応答時間

$R_c(\vec{\lambda})=\Bigsum_{k=1}^KR_{c,k}(\vec{\lambda})$

システム内平均個数

$Q_c(\vec{\lambda})=\lambda_cR_c(\vec{\lambda})=\Bigsum_{k=1}^KQ_{c,k}(\vec{\lambda})$

アルゴリズム７．１　オープン・モデルの解法

オープン・モデルの例
　図７．２は２つの客クラスと２つのサービスセンターを持つ単純なオープン・モデルを示し、さまざまな性能尺度の計算を示している。（全ての時間の単位は秒。）

モデル入力

$V_{A,CPU}=10$ 、 $V_{A,Disk}=9$ 、 $V_{B,CPU}=5$ 、 $V_{B,Disk}=4$

$S_{A,CPU}=1/10$ 、 $S_{A,Disk}=1/3$ 、 $S_{B,CPU}=2/5$ 、 $S_{B,Disk}=1$

$D_{A,CPU}=1$ 、 $D_{A,Disk}=3$ 、 $D_{B,CPU}=2$ 、 $D_{B,Disk}=4$

$\lambda_A=3/19$ ジョブ／秒、 $\lambda_B=2/19$ ジョブ／秒

モデル構造

選択されたモデル出力

$X_{A,CPU}(\vec{\lambda})=\lambda_AV_{A,CPU}=\frac{3}{19}\times{10}=1.58$ ジョブ／秒

$U_{A,CPU}(\vec{\lambda})=\lambda_AD_{A,CPU}=\frac{3}{19}\times{1}=0.158$

$R_{A,CPU}(\vec{\lambda})=\frac{D_{A,CPU}{1-\Bigsum_{j=A}^BU_{j,CPU}(\vec{\lambda})}=\frac{1}{12/19}=1.58$ 秒

$Q_{A,CPU}(\vec{\lambda})=\frac{U_{A,CPU}(\vec{\lambda})}{1-\Bigsum_{j=A}^BU_{j,CPU}(\vec{\lambda})}=\frac{3/19}{1-(\frac{3}{19}+\frac{4}{19})}=0.25$ ジョブ

$R_A(\vec{\lambda})=R_{A,CPU}(\vec{\lambda})+R_{A,Disk}(\vec{\lambda})=\frac{19}{12}+\frac{57}{2}=30.08$ ジョブ

図７．２　オープン・モデルの例

「7.4.2.クローズド・モデルの解法」に続きます。