7.4.3.ミックスド・モデルの解法：Quantitative System Performance

「7.4.2.2.近似の解法」の続きです。（目次はこちら）

7.4.3.ミックスド・モデルの解法

　ミックスド待ち行列ネットワーク・モデルはあるクラスがオープンで、あるクラスがクローズドであるようなモデルである。そのようなモデルは、例えば、バッチとトランザクションの混合処理システムをモデル化するために構築される。モデル全体の負荷強度ベクトルを $\vec{I}\equiv(N_1\:or\:\:\lambda_1,\;N_2\:or\:\:\lambda_2,...,\;N_C\:or\:\:\lambda_C)$ で示すことにする。ミックスド・モデルはアルゴリズム７．４を用いて評価される。待ち行列現象の重要な側面はアルゴリズムのステップ２によって示されている。そのステップでは、ミックスド・モデルのクローズド・クラスの性能尺度が、クローズド・クラスのみからなり、オープン・クラスを除去したモデルを作成することによって計算される。オープン・クラスのクローズド・クラスの性能尺度への影響は全てのデバイスでクローズド・クラスの処理要求時間を「水増し」することによって表現される。使用される「膨張ファクタ」は $1-U_{\{O\},k}$ であり、これはオープン・クラスによってプロセッサが使用されない時間の割合である。要するにこのファクタは、プロセッサの時間の若干が他の（この場合オープン）クラスに割当てられた場合の、クローズド・クラスから見たプロセッサの実効スピードを示している。例えば、もし３MIPS（１秒あたり百万命令）ＣＰＵがモデル内でオープン・クラスを構成するトランザクションによって３３％使用されているならば、それは他のクラスにとって２MPIS　ＣＰＵであるように見える。ステップ２のクローズド・モデルを作成するために処理要求時間を0.67で割ることは、実効的により遅いプロセッサ上ではより多い処理時間が必要であるという事実を単純に反映している。処理時間を水増しするこの方法はしばしば負荷隠蔽と呼ばれるが、のちの諸章で、客クラスの性能への影響を組み込んだままそのクラスを除去することによってモデルの複雑さを減らすために繰り返し使用される。

オープン・クラスの集合を $\{O\}$ とし、クローズド・クラスの集合を $\{C\}$ とする。
１．

個々のセンター $k$ について、個々のオープン・クラスによるその稼動率

$U_{c,k}(\vec{I})=\lambda_cD_{c,k}$ 　 $c\in\{O\}$

と全てのオープン・クラスによるその総稼動率

$U_{\{O\},k}(\vec{I})=\Bigsum_{c\in\{O\}}\lambda_cD_{c,k}$

を求める。これは単に個々のオープン・クラスへの強制フローの法則と稼動率の法則の適用である。

２．

$K$ 個のセンターとクローズド客クラス（オープン・クラスはなしで）から成るクローズド・モデルを解く。そのクローズド・モデル内の個々のセンター $k$ での個々のクラス $c\in\{C\}$ の処理要求時間 $D_{c,k}^*$ に

$D_{c,k}^*=\frac{D_{c,k}}{1-U_{\{O\},k}(\vec{I})}$ 　 $c\in\{C\}$

をセットする。ただし $D_{c,k}$ はもともとのミックスド・モデルでのセンター $k$ でのクラス $c$ の処理要求時間である。このモデルの解から得られるスループットや待ち行列長や滞在時間はミックスド・モデル内での対応するクローズド・クラスについての性能尺度である。稼動率は処理要求時間 $D_{c,k}$ のもともとの集合に稼動率の法則を適用することにより計算出来る。

３．

オープン・クラスについての在隊時間と待ち行列長は、クローズド・クラスの性能尺度を用いて計算出来る。

$R_{c,k}(\vec{I})=\frac{D_{c,k}\left[1+Q_{\{C\},k}(\vec{I})\right]}{1-U_{\{O\},k}(\vec{I})}$ 　 $c\in\{O\}$

$Q_{c,k}(\vec{I})=\lambda_cR_{c,k}(\vec{I})$ 　 $c\in\{O\}$

ただし $Q_{\{C\},k}(\vec{I})$ はステップ２でのクローズド・モデルの解から得られるセンター $k$ での全てのクローズド・クラスの総待ち行列長である。

アルゴリズム７．４　厳密ＭＶＡ解法（ミックスド・モデル）

ミックスド・モデルの例
　図７．４は４つのクラスと２つのセンターを持つミックスド・モデルを示している。クラス $A$ と $B$ はオープンであり、一方、クラス $C$ と $D$ はクローズドである。図に示すように、モデルの解はアルゴリズム７．４のステップに対応する３ステップで得られる。

モデル入力

$D_{A,CPU}=1/4$ 、 $D_{B,CPU}=1/2$ 、 $D_{C,CPU}=1/2$ 、 $D_{D,CPU}=1$

$D_{A,Disk}=1/6$ 、 $D_{B,Disk}=1$ 、 $D_{C,Disk}=1$ 、 $D_{D,Disk}=4/3$

$\lambda_A=1$ 、 $\lambda_B=1/2$ 、 $N_C=1$ 、 $N_D=1$

モデル構造

見積り
１．

オープン・クラスによるデバイスの総稼動率を計算する。

$U_{\{O\},CPU}(\vec{I})=\lambda_AD_{A,CPU}+\lambda_BD_{B,CPU}=0.5$

$U_{\{O\},Disk}(\vec{I})=\lambda_AD_{A,Disk}+\lambda_BD_{B,Disk}=0.667$

２．

オープン・クラスを削除しクローズド・クラスの処理要求時間を水増しして得られるクローズド・モデルを解く

$D_{C,CPU}^*=\frac{0.5}{1-0.5}=1$

$D_{D,CPU}^*=\frac{1}{1-0.5}=2$

$D_{C,Disk}^*=\frac{1}{1-0.667}=3$

$D_{D,Disk}^*=\frac{1.333}{1-0.667}=4$

このモデルはセクション７．４．２の例で解かれたクローズド・モデルと等価なので、同じ性能尺度を結果として得る。例えば、ＣＰＵクラス $C$ と $D$ についての待ち行列長は0.211と0.789である。

３．

クローズド・クラスの待ち行列長を用いて、オープン・クラスの性能尺度を計算する。例えば

$R_{A,CPU}=\frac{0.25{\times}(1+1.0)}{1-0.5}=1.0$

$R_{B,CPU}=\frac{0.5{\times}(1+1.0)}{1-0.5}=2.0$

図７．４　ミックスド・ネットワークの例

「7.5.理論的基礎」に続きます。