8.4.高レベル・モデルの求解：Quantitative System Performance

「[8.3.パラメータの獲得」の続きです。（目次はこちら）

8.4.高レベル・モデルの求解

　高レベル・モデルを評価する最も明らかな方法は前章で開発した解析テクニックを適用することである。第２０章で我々は負荷依存サービスセンターを含むネットワークの効率的な評価を可能にするＭＶＡ解法の拡張を示す。あいにく、この方法は分離可能待ち行列ネットワーク・モデルにのみ適用可能である。非分離可能高レベル・モデルは、元もとのモデルの（プライオリティ・スケジュールを用いたサービスセンターのような）非分離可能な側面が高レベル・モデルに直接表現される場合や、負荷依存サービスセンターが任意の処理レート関数を持つ場合に発生する。
　差し当たり、解析すべき元もとのネットワークが分離可能であり、よってこれら２つの問題のうちの最初のものは発生しないと仮定しよう。この場合、もし我々が効率的な解析テクニックを用いて高レベル・モデルを評価したいならば、個々のＦＥＳＣの負荷依存処理レートに若干の制限を要求することになる。特に、個々のＦＥＳＣの処理レートを、個体数 $\vec{n}$ である場合のクラス $c$ の処理レート、 $\mu_c(\vec{n})$ 、が $\frac{g[n_1,...,n_c-1,...,n_C]}{g[n_1,...,n_C]}$ に等しく、 $g[0,...,0]=1$ という初期条件を持つ $C$ 次元の行列 $g[0:N\1,0:N_2,...,0:N_C]$ で記述出来ることが可能でなければならない。この条件をやぶっている２クラス総体のためのもっともらしいスループット・レートの単純な例は以下である。

$\mu_A(n_A=1,n_B=0)=1/2$

$\mu_B(n_A=0,n_B=1)=1/3$

$\mu_A(n_A=1,n_B=1)=3/10$

$\mu_B(n_A=1,n_B=1)=2/9$

最初の２つのレートは $g[1,0]=2$ と $g[0,1]=3$ を要求する（ $g[0,0]$ が１に等しいことを思い出そう）。残りの２つのレートは、クラス $A$ のレートが $g[1,1]$ が10であることを要求するが、クラス $B$ のレートが $g[1,1]$ が9であることを要求するので、共存できない。
　ＦＥＣＳの処理レートを評価するための一般的テクニックは分離可能な高レベル・モデルをもたらさないが、低レベル・モデルを分離可能ネットワークとして解析すること（セクション８．３の２番目の方法）はそれをもたらすことが保証されている。この事実に基づいて、分離可能ネットワークの階層的モデル化において使用する効率的な戦略がアルゴリズム８．１としてまとめられた。この戦略の主要な動機は計算要求が低いということであるが、もともとのモデルが分離可能な場合、このアルゴリズムは正確な解を生成するということが起こる。
　もともとのモデルが分離可能でない場合、アルゴリズム８．１は若干修正されなければならない。もしモデルの非分離可能側面が低レベル・モデルのうちの１つに含まれているならば、サブモデルを解くアルゴリズムのステップは、ＭＶＡ解法が適用出来ないので、修正されなければならない。同様に、非分離可能サブモデルから得られるスループットは分離可能ＦＥＳＣをもたらさないので、高レベル・モデルの解を扱うアルゴリズムのステップは修正されなければならない。もし元もとのモデルの非分離可能局面がどの低レベル・モデルにも見られず、高レベル・モデルにのみ見られるならば、このモデルの解を扱うステップのみが変更されなければならない。アルゴリズム８．１を適用する際にＭＶＡの代わりに使用することが出来る非分離可能モデルを解くための方法はセクション８．５で与えられる。その方法は元々のモデルの近似解をもたらす。しかし、経験が示すところによればそのような近似は通常きわめて正確である。

$K$ 個のセンターと個体数 $\vec{N}$ を持つクローズド分離可能モデルを与え、センター1から $A$ までを総体とし、センター $A+1$ から $K$ までを補完体とする。
１．

全てのクラスについてセンター $A+1$ から $K$ までの処理要求時間をゼロに設定して低レベル・モデルを作成する。これはセンター1から $A$ までを持つモデルを作成することと等価である。

２．

厳密ＭＶＡ解法を用いて、個体数 $\vec{N}$ を持つこの（分離可能）モデルを評価する。客ゼロの場合からフル個体数 $\vec{N}$ までの全ての個体数と全てのクラス $c$ についてシステム・スループット $X_c(\vec{n})$ を得る。

３．

センター $A+1$ から $K$ までと、センター1から $A$ までを表現する１つのＦＥＳＣと、客個体数 $\vec{N}$ からなる高レベル・モデルを作成する。そのＦＥＳＣのキュー内の客個体数が $\vec{n}$ である場合のクラス $c$ についてのそのＦＥＳＣの処理レートは $X_c(\vec{n})$ であるべきである。

４．

第２０章に記述されたＭＶＡの拡張を用いてこの高レベル・モデルを評価する。このモデルの解はもともとの $K$ センター・ネットワークの解の近似である。全ての客クラスについてのシステム性能尺度と、センター $A+1$ から $K$ までについての性能尺度は、この解の結果として得られる。センター1から $A$ までについての性能尺度は高レベルと低レベルのモデルの解からの情報を組み合わせることによって計算出来る。例えば、個体数 $N$ の単一クラス・モデル内のセンター $K$ での平均待ち行列長は、

$Q_K(N)=\Bigsum_{n=1}^N\left[P[Q_{FESC}=n]\Bigsum_{j=1}^njP[Q_K=j|Q_{FESC}=n]\right]$

で見積ることが出来る。ただし $P[Q_{FESC}=n]$ は、ＦＥＳＣでの待ち行列長が $n$ である確率（高レベル・モデルから得られた）であり、 $P[Q_K=j|Q_{FESC}=n]$ は、総体内に $n$ 個の客がある場合にセンター $K$ が待ち行列長 $j$ を持つ確率（低レベル・モデルから得られた）である。

アルゴリズム８．１：分離可能モデルのための階層的分解解法

「8.5.階層的モデル化の適用」に続きます。