「分解可能仮定」についての考察（１）
「第８章 フロー等価と階層的モデル化」は正直言って理解がよく出来ていません。そこで、翻訳は少し中断して第８章の記述をたどって吟味していきたいと思います。第８章の先頭から読んでいきますと、8.2.フロー等価サービスセンターの作成の以下の記述にまず、ひっかかります。
このフローの近似は、客が総体から出発する平均レートが総体の状態にのみ依存するという分解可能仮定を想定することによって得ることが出来る。ただし、状態は総体内部の客個体数によって定義される。よって、状態はさまざまなサービスセンターでの客の配置から独立である。（例えば、総体の状態は（２クラスＡ、２クラスＢ）かもしれない。個々のクラスの客の総数は表現されているが、総体内の個々の客の位置に関する情報は無視されている。） よって総体はその可能な客個体数の関数としてのそのスループットの列挙によって完全に定義出来る。
ここで状態は「総体内部の客個体数によって」のみ定義され、それらの客が総体内のどこにいるかには無関係であるとしています。そして、そのように定義された状態が決まれば総体から客が出発する平均レートが決まるのが「分解可能仮定」の意味である、と述べています。私はこの意味がよく分かりません。どんな時にこの仮定が成立するでしょうか？
私がモヤモヤしているのは、客の位置（＝客が総体内のどこにいるか）と言ってもそれは固定のものではなくどんどん変化していくので、個々の客の配置毎に平均出発レートを云々しても、もともと意味がないのではないか、ということです。簡単な例で言いますと、単一クラスのクローズドのモデルでステーションが２個、直列になっており、各々のステーションは１個のサーバからなる（この本「Quantitative System Performance」の今までの記述から推測するに、この本では１ステーションに複数のサーバが存在する場合を考えていないようです。）場合を考えてみます。
- 図１
そしてこのモデルには客が２個しかないとします。サーバの処理時間の分布は指数分布です。（この本「Quantitative System Performance」ではキューイング・ステーションは処理時間分布が指数分布であると仮定しているようです。） そうすると「プル生産システムのモデル化を目指して（８）」で論じたように、このモデル内の客数によってスループット（＝平均出発レート）が決まります。今、考えているのは単一クラスなので、上記の「分解可能仮定」における状態は、モデル内の客の個数になります。この意味で、「分解可能仮定」は、「客が総体から出発する平均レートが総体の状態にのみ依存する」という仮定である、と理解することは可能です。しかし、と考えて、やっと分かったような気がします。「状態はさまざまなサービスセンターでの客の配置から独立である。」というのは、上記の状態の定義、として理解出来ます。「分解可能仮定」の意味するところは、つまり・・・客数を固定した時、全ての可能な客の配置に遷移可能であるということなのでしょう。もう少し言うとエルゴード的であるということでしょう。私は先ほど
- 客の位置と言ってもそれは固定のものではなくどんどん変化していくので、個々の客の配置毎に平均出発レートを云々しても、もともと意味がない
と言いましたが、この「分解可能仮定」は個々の客の位置の組合せを問題にしているのではなく、平均出発レートを定義出来るように状態を定義すると、客の個数が状態になるということを言いたいのでしょう。よって、「分解可能仮定」を満たさない場合、というのは、平均出発レートを定義出来るような状態が、客の個数より細かな状態である場合でしょう。とは言ってもそのような具体的な例が思い浮かばないです。もう少し考えてみる必要がありそうです。
「「分解可能仮定」についての考察（２）」に続きます。
