9.3.2.独立なメモリ制約を持つ複数クラス：Quantitative System Performance

「[9.3.1.単一クラス・モデル（２）」の続きです。（目次はこちら）

9.3.2.独立なメモリ制約を持つ複数クラス
　ここで $C$ 種類の客クラスがあり、それぞれが独立のメモリ制約 $M_c$ を持つシステムを考察しよう。（クラスは負荷強度と処理要求時間だけでなくたぶんそのメモリ要求量についても異なっているものと考えた。）　この場合のためにアルゴリズム９．１の明白な一般化が存在する。

中核サブシステムを構成する処理リソースを表すサービスセンターから成る複数クラス・低レベル・モデルを定義する。

このモデルを実現可能な全ての個体数ベクトル、 $\vec{n}=(n_1,n_2,...,n_C)$ 、 $0{\le}n_c{\le}M_c$ について評価する。個々のクラスの「個体数ベクトル依存」スループット、 $X_c(\vec{n})$ を記録する。

アルゴリズム９．１と類似したやり方で、これらのスループットを用いて複数クラスＦＥＳＣを定義する。

このＦＥＳＣと個々のクラスの外部環境から成る複数クラス高レベル・モデルを定義する。このモデルを評価する。

あいにく、この一般化は単一クラスのアルゴリズムの効率的という性質を持っていない。

ＦＥＳＣのパラメータを決めるのに必要なスループットの獲得のために実現可能な全ての個体数ベクトルについて低レベル・モデルを評価することが必要である。このコストは

$CK\prod_{c=1}^C(M_c+1)$

に比例する。

結果として得られる高レベル・モデルは分離可能ではないので、大域バランス手法によってのみ評価可能であり、それはクラスの数が少なく、かつ、メモリ制約が小さくない限り極めて高価である。

これらの困難を回避するために我々は２つの均一性仮定を導入する。

クラス $c$ の中核サブシステム個体数が $n_c$ の時のクラス $c$ のスループットは他のクラスの平均中核サブシステム個体数にのみ依存すると仮定する。

個々のクラスは他のクラスをあたかもそれらの中核サブシステム個体数が互いに独立であるかのように見ると仮定する。

最初の仮定は、他のクラスの個体数がその平均値に固定されているような $C$ クラス待ち行列ネットワークを解析することによって任意のクラスの負荷依存スループットを決定することを可能にする。これらの平均値は高レベル・モデルから決定される。すなわち、高レベルと低レベルのモデルは繰返し解かれ、次に続く見積り値が充分近い時に終了する。２番目の仮定は個々のクラスについて分離可能ＦＥＳＣを定義することを可能にする。実質的に我々は、単一の非分離可能 $C$ クラス高レベル・モデルではなく、 $C$ 個の分離可能単一クラス高レベル・モデルを解析する。
　その結果がアルゴリズム９．２である。このアルゴリズムは $C$ 種類のクラスの若干が制約されていないようなモデルに適用可能である。表現を容易にするために制約クラスの数を $\hat{C}{\le}C$ で示し、制約クラスが添え字 $c=1,...,\hat{C}$ を持つようにクラスを並べる。このアルゴリズムは評価を促進するために均一性の仮定を導入することのよい例である。

１．

各々のメモリ制約クラスについての平均中核サブシステム客個体数の初期見積もり、 $\bar{n}_c$ を $c=1,...,\hat{C}$ について求める。そうするために、元々の $C$ クラス・モデル内の全てのメモリ制約を無視して、分離可能待ち行列ネットワークを導出する。このネットワークを評価する。各々のメモリ制約クラス $c$ について、 $\bar{n}_c$ に $M_c$ と非制約モデル内の平均クラス $c$ 中核サブシステム個体数の最小値を設定する。

２．

繰返しのための準備において、 $\hat{C}$ 個のメモリ制約クラスの各々を $\bar{n}_c$ に等しい個体数を持つバッチ・クラスに変更することによって元々のモデルを修正する。非制約クラスを元の形のままにする。その結果、 $C$ クラス分離可能待ち行列ネットワークが出来る。（制約クラスの非整数客個体数は自然にＭＶＡベ−ス繰返し近似解法に適合する。）

３．

各々のメモリ制約クラス $c=1,...,\hat{C}$ について

3.1.

$\bar{n}_c$ 個のクラス $c$ 客をクラス $c$ の実現可能な個々の個体数、 $n_c=1,...,M_c$ で置き換える。その待ち行列ネットワークを評価して、クラス $c$ のスループット、 $X_c(n_c)$ を得る。

3.2.

単一クラス負荷依存サービスセンターＦＥＳＣを作成する。待ち行列長 $n$ の時のそのスループット $\mu_c(n)$ は以下で定義される。

$n=1,...,M_c$ ならば

$\mu_c(n)=X_c(n)$

$n>M_c$ ならば

$\mu_c(n)=X_c(M_c)$

3.3.

このＦＥＳＣとクラス $c$ の外部環境（ $N$ と $Z$ 、あるいは $\lambda$ ）から成る単一クラス分離可能高レベル・モデルを定義し評価する。ＦＥＳＣでの待ち行列長分布を求める。（ $P[Q_{FESC}=i]$ がＦＥＳＣでの待ち行列長が $i$ である確率を示すものとする。）　これを用いてクラス $c$ の平均中核サブシステム個体数について新しい見積もりを計算する。

$\bar{n}_c=\Bigsum_{i=1}^M_ciP[Q_{FESC}=i]+\left[1-\Bigsum_{i=0}^M_cP[Q_{FESC}=i]\right]M_c$

４．

各々の制約クラスについて $\bar{n}_c$ の後に続く見積りが充分近くなるまでステップ３を繰り返す。

５．

最後の繰返しの間評価した $\hat{C}$ 個の高レベル・モデルから制約クラスの性能尺度を求める。ステップ２で定義した待ち行列ネットワークを、制約クラスの $\bar{n_c}$ の最終見積もりを用いて解くことによって非制約クラスの性能尺度を求める。

アルゴリズム９．２　複数クラス独立メモリ制約

「9.3.3.共用メモリ制約を持つ複数クラス」に続きます。