証明：Ｃの証明

ファブ内物流の論理を求めて

(6)

  • A_n^j=\max\{D_n^{j-1},A_{n-C_j}^{j+1}\}・・・・・(6)

でn=1,j=1として

  • A_1^1=\max\{D_1^0,A_{1-C_1}^2\}

ここで

  • D_n^0=0・・・・・(5)

を用いれば

  • A_1^1=\max\{0,A_{1-C_1}^2\}=A_{1-C_1}^2

ここで部品1-C_1は存在しないことを考えれば

  • A_1^1=0・・・・・(a-1)

同様に(6')

  • \tilde{A}_n^j=\max\{\tilde{D}_n^{j-1},\tilde{A}_{n-C_j}^{j+1}\}・・・・・(6')

でn=1,j=1として、途中で(5')

  • \tilde{D}_n^0=0・・・・・(5')

を用いれば

  • \tilde{A}_1^1=\max\{\tilde{D}_1^0,\tilde{A}_{1-C_1}^2\}=\max\{0,0\}=0

つまり

  • \tilde{A}_1^1=0・・・・・(a-2)

よって

  • A_1^1{\le}\tilde{A}_1^1・・・・・(a-3)

(7)

  • D_n^j=\max\{D_{n-1}^j,A_n^j\}+S_n^j・・・・・(7)

でn=1,j=1として、途中で(5)、(a-1)を用いれば

  • D_1^1=\max\{D_0^1,A_1^1\}+S_1^1=S_1^1・・・・・(a-4)

(9)

  • \tilde{D}_n^j=\max\{\tilde{A}_{n-1}^{j+1},\tilde{A}_n^j\}+S_n^j・・・・・(9)

でn=1,j=1として、途中で(a-2)を用いれば

  • \tilde{D}_1^1=\max\{\tilde{A}_0^2,\tilde{A}_1^1\}+S_1^1=\max\{\tilde{A}_0^2,0\}+S_1^1=\tilde{A}_0^2+S_1^1

ここで部品0が存在しないことを考えれば

  • \tilde{D}_1^1=S_1^1・・・・・(a-5)

よって

  • D_1^1{\le}\tilde{D}_1^1・・・・・(a-6)

(a-3)、(a-6)から

k=1の時
（補題３）

  • 1{\le}k{\le}Nであるようなkを定めた時、
  • 1{\le}j{\le}kである全てのjについて
    • A_1^j{\le}\tilde{A}_1^j、D_1^j{\le}\tilde{D}_1^j

が成り立つので、Ｃ）は証明されました。