証明：Ｄの証明

ファブ内物流の論理を求めて

Ｄ）の仮定から

  • 1{\le}j{\le}mである全てのjについて
    • A_1^j{\le}\tilde{A}_1^j、D_1^j{\le}\tilde{D}_1^j・・・・・(a-7)

が成り立ちます。
(a-7)から

  • D_1^m{\le}\tilde{D}_1^m・・・・・(a-8)

(6)

  • A_n^j=\max\{D_n^{j-1},A_{n-C_j}^{j+1}\}・・・・・(6)

でn=1,j=m+1とすると

  • A_1^{m+1}=\max\{D_1^m,A_{1-C_j}^{m+1}\}

部品1-C_jは存在しないので

  • A_{1-C_j}^{m+1}=0

よって

  • A_1^{m+1}=\max\{D_1^m,0\}=D_1^m

ここで(a-7)を用いれば

  • A_1^{m+1}{\le}\tilde{D}_1^m・・・・・(a-9)

(6')でn=1,j=m+1とおいて同様に変形すると

  • \tilde{A}_1^{m+1}=\tilde{D}_1^m・・・・・(a-10)

(a-9)と(a-10)から

  • A_1^{m+1}{\le}\tilde{A}_1^{m+1}・・・・・(a-11)

(7)

  • D_n^j=\max\{D_{n-1}^j,A_n^j\}+S_n^j・・・・・(7)

でn=1,j=m+1とすると

  • D_1^{m+1}=\max\{D_0^{m+1},A_1^{m+1}\}+S_1^{m+1}

ここで

  • D_n^0=0・・・・・(5)

を用いれば

  • D_1^{m+1}=\max\{0,A_1^{m+1}\}+S_1^{m+1}=A_1^{m+1}+S_1^{m+1}

つまり

  • D_1^{m+1}=A_1^{m+1}+S_1^{m+1}・・・・・(a-12)

(9)

  • \tilde{D}_n^j=\max\{\tilde{A}_{n-1}^{j+1},\tilde{A}_n^j\}+S_n^j・・・・・(9)

でn=1,j=m+1とすると

  • \tilde{D}_1^{m+1}=\max\{\tilde{A}_0^{m+1},\tilde{A}_1^{m+1}\}+S_1^{m+1}

ここで部品0が存在しないことを考えれば

  • \tilde{D}_1^{m+1}=\max\{0,\tilde{A}_1^{m+1}\}+S_1^{m+1}=\tilde{A}_1^{m+1}+S_1^{m+1}

つまり

  • \tilde{D}_1^{m+1}=\tilde{A}_1^{m+1}+S_1^{m+1}・・・・・(a-13)

(a-12)、(a-13)、(a-11)から

  • D_1^{m+1}{\le}\tilde{D}_1^{m+1}・・・・・(a-14)

よって1{\le}j{\le}mである全てのjについて

  • A_1^j{\le}\tilde{A}_1^j、D_1^j{\le}\tilde{D}_1^j・・・・・(a-7)

が成り立ちます。
よって
Ｄ）k=mの時に補題３が成り立つと仮定するとk=m+1の時にも補題３が成り立つ。
が証明されました。