工場統計力学（建設中！）

証明：Ｅの証明

ファブ内物流の論理を求めて

命題Ｅ）は、 $p=1$ の時に

（補題４）
- (5)(6)(7)(5')(6')(9)が成り立っているとする。さらに、 $k=m$ の時に補題１が成り立っているとする。さらに
- $1{\le}p{\le}N$ であるような $p$ を定めた時、
- である全てのについて
  - $A_{m+1}^j{\le}\tilde{A}_{m+1}^j$ 、 $D_{m+1}^j{\le}\tilde{D}_{m+1}^j$
- が成り立つ。

が成り立つ、というものでした。

Ｅ）を証明することは、

$A_{m+1}^1{\le}\tilde{A}_{m+1}^1$ 、 $D_{m+1}^1{\le}\tilde{D}_{m+1}^1$ ・・・・・(a-15)

と同等なので(a-15)を証明することにします。

(6)

$A_n^j=\max\{D_n^{j-1},A_{n-C_j}^{j+1}\}$ ・・・・・(6)

で $n=m+1,j=1$ とすると

$A_{m+1}^1=\max\{D_{m+1}^0,A_{m+1-C_1}^2\}$

ここで(5)

$D_n^0=0$ ・・・・・(5)

を用いれば

$A_{m+1}^1=\max\{0,A_{m+1-C_j}^2\}=A_{m+1-C_1}^2$ ・・・・・(a-16)

同様に(6')

$\tilde{A}_n^j=\max\{\tilde{D}_n^{j-1},\tilde{A}_{n-C_j}^{j+1}\}$ ・・・・・(6')

で $n=m+1,j=1$ とすると

$\tilde{A}_{m+1}^1=\max\{\tilde{D}_{m+1}^0,\tilde{A}_{m+1-C_1}^2\}$

ここで(5')

$\tilde{D}_n^0=0$ ・・・・・(5')

を用いれば

$\tilde{A}_{m+1}^1=\max\{0,\tilde{A}_{m+1-C_1}^2\}=\tilde{A}_{m+1-C_1}^2$ ・・・・・(a-17)

もし $m+1-C_1{\le}0$ ならば部品 $1-C_j$ は存在しないので

$A_{m+1-C_1}^2=0$
$\tilde{A}_{m+1-C_1}^2=0$

なので

$A_{m+1-C_1}^2=\tilde{A}_{m+1-C_1}^2$

もし $m+1-C_1>0$ ならば、 $m+1-C_j{\le}m$ なので補題１から

$A_{m+1-C_1}^2{\le}\tilde{A}_{m+1-C_1}^2$

よっていずれの場合にも

$A_{m+1-C_1}^2{\le}\tilde{A}_{m+1-C_1}^2$ ・・・・・(a-18)

よって(a-16)、(a-17)、(a-18)から

$A_{m+1}^1=\tilde{A}_{m+1}^1$ ・・・・・(a-19)

(7)

$D_n^j=\max\{D_{n-1}^j,A_n^j\}+S_n^j$ ・・・・・(7)

で $n=m+1,j=1$ とすると

$D_{m+1}^1=\max\{D_m^1,A_{m+1}^1\}+S_{m+1}^1$ ・・・・・(a-20)

(9)

$\tilde{D}_n^j=\max\{\tilde{A}_{n-1}^{j+1},\tilde{A}_n^j\}+S_n^j$ ・・・・・(9)

で $n=m+1,j=1$ とすると

$\tilde{D}_{m+1}^1=\max\{\tilde{A}_m^2,\tilde{A}_{m+1}^1\}+S_{m+1}^1$ ・・・・・(a-21)

$m{\le}m$ なので補題１から

$D_m^1{\le}\tilde{D}_m^1$

これと(a-20)と(a-19)から

$D_{m+1}^1{\le}\max\{\tilde{D}_m^1,\tilde{A}_{m+1}^1\}+S_{m+1}^1$

さらに定義から

$\tilde{D}_m^1{\le}\tilde{A}_m^2$

なので

$D_{m+1}^1{\le}\max\{\tilde{A}_m^2,\tilde{A}_{m+1}^1\}+S_{m+1}^1$

ここで(a-21)を用いれば

$D_{m+1}^1{\le}\tilde{D}_{m+1}^1$ ・・・・・(a-22)

(a-19)と(a-22)から(a-15)が証明されました。よってＥ）が証明されました。