Tayur　1993年のかんばん方式に関する研究 - 工場統計力学（建設中！）

さらにJIT生産システム（オペレーションズ・リサーチ――経営の科学　1998年5月号　所収）を読んでいきますと、Tayur 1993によるかんばん方式の解析の紹介が出ています。

　 Tayur [*1]は、図２に示される $N$ 工程からなる生産指示かんばんモデルにおいて、より一般的に各工程 $j$ が、充分なbufferをとって直列に配置された $M_j$ 台の機械からなる生産ラインを考え、記号 $N/(M_1,...,M_N)/(C_1,...,C_N)$ で表している。

前に紹介したMitraとMitrani 1990の解析が、１工程１台の装置の直列ラインに限定されていたのが、この解析では、１工程に複数台の装置に拡張されています。

そして、(5)〜(8)式と同様な式から、標本過程法（sample path method）により構造的特性として優越性(dominance)と可逆性(recersibility)を導いている。

(5)〜(8)式というのはMitraとMitraniの解析で登場した以下の式です。

$D_n^0=0$ ・・・・・(5)
$A_n^j=\max\{D_n^{j-1},A_{n-C_j}^{j+1}\}$ ・・・・・(6)
$D_n^j=\max\{D_{n-1}^j,A_n^j\}+S_n^j$ ・・・・・(7)
$A_n^{N+1}=\max\{D_n^N,U_n\}$ ・・・・・(8)

しかし、ここで標本過程法(sample path method)と言っているのは何でしょうか？　私には分かりません。

工程 $N$ には常に製品需要が待っているものと仮定し、 $T_n$ で $n$ 番目の製品の完成時刻 $(=D_n^N)$ を表すことにする。各工程 $j$ のかんばん枚数が $C_j'$ のときの製品完成時刻を $T_n'$ で表す。 $T_n$ 、 $T_n'$ の分布関数を $F(t)$ 、 $F'(t)$ で表したとき、すべての $t$ で $F(t){\ge}F'(t)$ ならば $T_n$ は $T_n'$ より確率的に小さいと呼ぶ。このとき、 $T_n$ の平均が $T_n'$ の平均より小さいこと等が導かれる。

この確率的に小さいという概念はおもしろいと思いました。つまり任意の $t$ を決めた時に、[tex:T_n

$t$ が小さい確率が大きいので、 $t$ の平均値は小さいことになります。

定理１　［優越性］　 $M_1=...=M_N=1$ のとき、任意の[tex:1{\le}j

この証明の過程は分かりません。ちょっと使えるかもしれないので一応、覚えておくことにします。２つの生産ラインで任意の区間を採った時、その区間にある工程のかんばんの数の総数が、必ず一方の生産ラインのほうが他方よりも大きいのであれば、その生産ラインの各部品の完成時刻の平均は他方の生産ラインのそれよりも小さい、ということです。

この定理の系として、

１）各工程のかんばん枚数が増加すれば、スループットも増加する。

２）総かんばん枚数 $C=C_1+...+C_N$ が一定のとき、 $N{\ge}3$ ならば、 $C_1=C_N=1$ を満たす割当てがスループットを最大にする。

が示されている。さらに上記２）は、 $N/(1,M_2,...,M_{N-1},1)/(C_1,...,C_N)$ へと一般化されている。

１）が定理１から導かれることは直感的には分かります。ここから、かんばん枚数が無限大であれば、つまり通常のプッシュ生産ラインであれば、スループットが最大になる、ということが言えると思います。しかし、これは最初の工程の前に全ての部品が予め準備されている、という前提のもとでです。私が知りたいと思っているのは、ある決まったスループットで部品が到着する時に、かんばん方式とプッシュ方式とCONWIP方式でサイクルタイムを比較した場合に、その大小関係はどうなるか、というものですが、この研究はそれには答えてくれそうになさそうです。

次に２）が定理１から導かれることは、少し考えてみれば分かりそうです。しかし、私は２）の結果は実務上あまり重要とは思えないので、ちょっと確かめる気になれません。私には実務において総かんばん枚数が限られる場面というのが想像出来ないのです。その下に記述されている「上記２）は、 $N/(1,M_2,...,M_{N-1},1)/(C_1,...,C_N)$ へと一般化されている。」の意味も分かりませんし、実務上意味のある結果とも思えません。

このあとにも紹介記事が続きますが、読んでも私には重要性が分からないので、ここで私の検討を終えます。

*1:Tayur, S.R., 1993, Structural properties and a heuristic for kanban-controlled serial lines, Management Sci., 39, 1347-1368.