BCMPネットワーク（３） - 工場統計力学（建設中！）

「BCMPネットワーク（２）」の続きです。

ＢＣＭＰ定理
ＢＣＭＰネットワーク内の定常状態確率分布は以下の積形式を持つ。

$P(\bar{N}=\bar{n})=\frac{1}{G}A(\bar{n})\prod_{i=1}^Mp_i(\bar{n}_i)$

ただし $G$ は正規化定数であり（それは確率の合計が１になることを保証する）、 $A(\bar{n})$ は外部到着過程のみの関数であり、関数 $p_i(\bar{n}_i)$ は「ノード毎の」定常状態分布である。
　この結果の重要点は、関数 $p$ の明示的な式が存在するということである。それらは以下の通りである（ $n_i$ は

$\Bigsum_{r=1}^Rn_{i,r}$

であることに注意）。
　ノード $i$ がタイプＦＣＦＳの場合、負荷独立の場合には

$p_i(\bar{n}_i)=n_i!\left(\prod_{r=1}^R\frac{1}{n_{i,r}!}V_{i,r}^{n_{i,r}}\right)\left(\frac{1}{\mu}\right)^{n_i}$

であり、負荷依存の場合は

$p_i(\bar{n}_i)=n_i!\left(\prod_{r=1}^R\frac{1}{n_{i,r}!}V_{i,r}^{n_{i,r}}\right)\prod_{j=1}^{n_i}\frac{1}{\mu_i(j)}$

である。

　ノード $i$ がタイプＰＳまたはＬＣＦＳ−ＰＲの場合、負荷独立の場合には

$p_i(\bar{n}_i)=n_i!\prod_{r=1}^R\frac{1}{n_{i,r}!}\left(\frac{V_{i,r}}{\mu_{i,r}}\right)^{n_{i,r}$ }

であり、負荷依存の場合は

$p_i(\bar{n}_i)=n_i!\prod_{r=1}^R\frac{1}{n_{i,r}!}V_{i,r}^n_{i,r}\prod_{j=1}^{n_i}\frac{1}{\mu_{i,r}}(j)$

である。

　ノード $i$ がタイプＩＳの場合、負荷独立の場合には

$p_i(\bar{n}_i)=\prod_{r=1}^R\frac{1}{n_{i,r}!}\left(\frac{V_{i,r}}{\mu_{i,r}}\right)^{n_{i,r}}$

であり、負荷依存の場合は

$p_i(\bar{n}_i)=\prod_{r=1}^R\frac{1}{n_{i,r}!}V_{i,r}^{n_{i,r}}\prod\frac{1}{\mu_{i,r}}(j)$

である。

　最後に、項 $A(\bar{n})$ は到着過程によって以下のように決定される。もし全てのチェーンがクローズならば $A(\bar{n})=1$ である。もし到着がシステム総客数に依存するならば、それは

$A(\bar{n})=\prod_{j=0}^{k-1}\lambda(j)$

である。ただし $k$ はネットワークの客数である。もし到着がチェーン毎であるならば

$A(\bar{n})=\prod_{c=1}^{N_C}\prod_{j=0}^{k-1}\lambda_c(j)$

である。ただし $N_C$ はラウティング・チェーンの数であり $k_c$ はラウティング・チェーン $c$ 内の客数である。
　ここで、この記法の全てが多すぎるように見えるので、ＢＣＭＰ定理の特殊な場合であり、実用的な興味が大いになるような例を２つ与える。その後、我々がいつかそれに時間を費やすであろう１つの例が与えられる。

「BCMPネットワーク（４）」に続きます。