ＢＣＭＰネットワーク（４） - 工場統計力学（建設中！）

「ＢＣＭＰネットワーク（３）」の続きです。

例：単一クラス、負荷独立、オープンネットワーク
ここで到着プロセスは一定の率 $\lambda$ のポアソン分布である（到着に関して負荷依存はない）。またサービス率は固定である。もしノードがＦＣＦＳ、または、ＰＳ、またはＬＣＦＳＰＲならば、１台のサーバしか存在しない。よって

$P(\bar{N}=\bar{n})=\prod_{i=1}^Mp_i(n_i)$

ただし

ＦＣＦＳ、ＰＳ、ＬＣＦＳＰＲタイプの時

$p_i(n_i)=(1-\rho_i)\rho_i^{n_i}$

ＩＳタイプの時

$p_i(n_i)=e^{-\rho_i}\frac{\rho_i^{n_i}}{n_i!}$

ただし $\rho_i$ は

ＦＣＦＳタイプの時

$\rho_i=\Bigsum_{r\n{R_i}}\frac{\lambda{V_{i,r}}}{\mu_i}$

ＩＳ、ＰＳ、ＬＣＦＳＰＲタイプの時

$\rho_i=\Bigsum_{r\n{R_i}}\frac{\lambda{V_{i,r}}}{\mu_{i,r}}$

ただし $R_i$ はノード $i$ でサービスを要求するクラスの集合である。あなたはこの結果を自分で確認することが出来るはずである。それはこの記法の全てになじむのに適した練習である。 $A(\bar{n})$ は $\rho_i$ の定義に吸収されてしまっていることに注意しよう。この結果は若干、直感的に納得出来るに違いない。それはシステムが、適切な到着率を持つM/M/1（あるいはM/M/∞）待ち行列に分解出来ると言っている。

例：クローズド、複数クラス、負荷独立ＢＣＭＰネットワーク
　多くのコンピュータ・システムの例は負荷独立サーバと複数客クラス（しかしクラスの変更はない）とクラス毎に固定の客数を持つ。ここで

$P(\bar{N}=\bar{n})=\frac{1}{G}\prod_{i=1}^Mp_i(\bar{n_i})$

で

$p_i(n_i)$

は

ＦＣＦＳタイプの時

$=n_i!\left(\frac{1}{\mu_i\right)^{n_i}\prod_{r=1}^R\frac{1}{n_{r,i}!}V_{i,r}$

ＰＳ、ＬＣＦＳＰＲタイプの時

$=n_i!\prod_{r=1}^R\frac{1}{n_{i,r}!}\left(\frac{V_{i,r}}{\mu_{i,r}\right)^{n_{i,r}}$

ＩＳタイプの時

$=\prod_{r=1}^R\frac{1}{n_{i,r}!}\left(\frac{V_{i,r}}{\mu_{i,r}}\right)$

$n_i=\Bigsum_{r=1}^Rn_{i,r}$

であることに注意

例：イーサネット接続されたクライアント・サーバ・システム
　ここでイーサネットによってサーバに接続されている固定の台数 $m$ のクライアント・ワークステーションからなるクライアント・サーバ・システムを考察しよう。サーバは１台のディスクと１個のＣＰＵから成る。端末とサーバ間のイーサネット接続は以下の負荷依存サービス率を持つサーバとしてモデル化出来る。

$k=1$ の時

$\mu(k)=\left(\frac{1}{N_p}\cdot\frac{L_p}{B}+S\cdot{C}(1)\right)^{-1}$

$k>1$ の時

$\mu(k)=\left(\frac{1}{N_p}\cdot\frac{L_p}{B}+S\cdot{C}(k+1)\right)^{-1}$

ただし

$C(k)=(1-A(k))/A(k)$

は１要求あたりの平均衝突回数であり

$A(k)=(1-1/k)^{k-1}$

は伝送成功の確率であり、 $k$ はネットワークを使用したいワークステーションの数である。 $\mu(k)$ に関する式の中の他のパラメータについては、 $N_p$ は１要求あたりに発生する平均パケット数で、 $B$ はネットワークバンド幅（単位：ビット／秒）、 $S$ はスロット期間（言い換えれば、衝突検出のための時間）で $\bar{L}_p$ は平均パケット長（単位：ビット）である。