αとβと平均と標準偏差

確率論

「[ガンマ分布の平均と標準偏差]」では、ガンマ分布のαとβと平均と標準偏差を

  • E(G(\alpha,\beta))=\alpha\beta・・・・(1)
  • \sigma(G(\alpha,\beta)=\sqrt{\alpha}\beta・・・・(2)

と示しました。ここでは記述を簡単にして平均E(G(\alpha,\beta))をm、標準偏差\sigma(G(\alpha,\beta))を\sigmaで表すことにします。そうすると式(1)(2)は

  • m=\alpha\beta・・・・(3)
  • \sigma=\sqrt{\alpha}\beta・・・・(4)

になります。ここから、ガンマ分布のパラメータ\alphaと\betaを平均と標準偏差で表すことが出来ます。(3)の両辺を(4)の両辺で割って

  • \frac{m}{\sigma}=\sqrt{\alpha}

よって

  • \alpha=\frac{m^2}{\sigma^2}・・・・(5)

(5)を(3)に代入して

  • m=\frac{m^2}{\sigma^2}\beta

よって

  • \beta=m\frac{\sigma^2}{m^2}

よって

  • \beta=\frac{\sigma^2}{m}・・・・(6)


ある与えられた平均値と標準偏差を持つガンマ分布の確率密度関数を作るには上の(5)(6)を用いて\alphaと\betaを求めます。