工場統計力学（建設中！）

ガンマ分布の平均と標準偏差

確率論

これからガンマ分布の平均と標準偏差を求めたいと思います。アーラン分布では「アーラン分布」で述べたように、その確率密度関数が

$f(t;k,\lambda)=\frac{\lambda^kt^{k-1}}{(k-1)!}\exp(-\lambda{t})$ ・・・・(1)

であるようなアーラン分布の確率変数 $E_k$ の平均値 $E(E_k)$ は

$E(E_k)=\frac{k}{\lambda}$ ・・・・(2)

標準偏差 $\sigma(E_k)$ は

$\sigma(E_k)=\frac{\sqrt{k}}{\lambda}$ ・・・・(3)

でした。「ガンマ分布」での記述により、 $k$ を $\alpha$ に、 $\lambda$ を $1/\beta$ に置き換えることにより、確率密度関数

$f(t;\alpha,\beta)=\frac{t^{\alpha-1}}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}\exp(-\frac{t}{\beta})$ ・・・・(4)

を持つガンマ分布の確率変数 $G(\alpha,\beta)$ の平均値 $E(G(\alpha,\beta))$ は

$E(G(\alpha,\beta))=\alpha\beta$ ・・・・(5)

標準偏差 $\sigma(G(\alpha,\beta))$ は

$\sigma(G(\alpha,\beta))=\sqrt{\alpha}\beta$ ・・・・(6)

であると推測出来ます。しかし、これは厳密に言えば証明ではありません。以下に、証明を与えたいと思います。

まず、平均値です。

- $=\Bigint_0^{\infty}\left(\frac{t}{\beta}\right)^{\alpha}\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\exp\left(-\frac{t}{\beta}\right)dt$
- $=\frac{\beta}{\Gamma(\alpha)}\Bigint_0^{\infty}\left(\frac{t}{\beta}\right)^{\alpha}\exp\left(-\frac{t}{\beta}\right)d\left(\frac{t}{\beta}\right)$

ここで

$\frac{t}{\beta}=u$

と置くと

$E(G(\alpha,\beta))=\frac{\beta}{\Gamma(\alpha)}\Bigint_0^{\infty}u^{\alpha}e^{-u}du$ ・・・・(7)

式(7)の右辺は、「ガンマ関数」の式(1)（ここでは式(8)と番号を振り直す）

$\Gamma(x)=\Bigint_0^{\infty}s^{x-1}e^{-s}ds$ ・・・・(8)

を用いれば

$E(G(\alpha,\beta))=\frac{\beta}{\Gamma(\alpha)}\Gamma(\alpha+1)$ ・・・・(9)

式(9)の右辺は、「ガンマ関数」の式(6)（ここでは式(10)と番号を振り直す）

$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ ・・・・(10)

を用いれば

$E(G(\alpha,\beta))=\frac{\beta}{\Gamma(\alpha)}\Gamma(\alpha)\alpha=\alpha\beta$

よって

$E(G(\alpha,\beta))=\alpha\beta$ ・・・・(5)

が証明出来ました。

次は標準偏差ですが、まずは２乗平均 $E(G(\alpha,\beta)^2)$ を求め、次に

$V(G(\alpha,\beta))=E(G(\alpha,\beta)^2)-\{E(G(\alpha,\beta))\}^2$ ・・・・(11)

から分散 $V(G(\alpha,\beta))$ を求め、最後に

$\sigma(G(\alpha,\beta))=\sqrt{V(G(\alpha,\beta))}$ ・・・・(12)

で標準偏差 $\sigma(G(\alpha,\beta))$ を求めることにします。
まず、２乗平均 $E(G(\alpha,\beta)^2)$ です。

- $=\Bigint_0^{\infty}\left(\frac{t}{\beta}\right)^{\alpha+1}\frac{\beta}{\Gamma(\alpha)}\exp\left(-\frac{t}{\beta}\right)dt$
- $=\frac{\beta^2}{\Gamma(\alpha)}\Bigint_0^{\infty}\left(\frac{t}{\beta}\right)^{\alpha+1}\exp\left(-\frac{t}{\beta}\right)d\left(\frac{t}{\beta}\right)$

ここで

$\frac{t}{\beta}=u$

と置くと

$E(G(\alpha,\beta)^2)=\frac{\beta^2}{\Gamma(\alpha)}\Bigint_0^{\infty}u^{\alpha}e^{-u}du$ ・・・・(13)

式(13)の右辺は(8)を用いれば

$E(G(\alpha,\beta)^2)=\frac{\beta^2}{\Gamma(\alpha)}\Gamma(\alpha+2)$ ・・・・(14)

式(14)の右辺は式(10)を用いれば

$E(G(\alpha,\beta)^2)=\frac{\beta^2}{\Gamma(\alpha)}\Gamma(\alpha)\alpha(\alpha+1)=\alpha(\alpha+1)\beta^2$

よって

$E(G(\alpha,\beta)^2)=\alpha(\alpha+1)\beta^2$ ・・・・(15)

式(11)に式(15)と式(5)を代入すると

$V(G(\alpha,\beta))=\alpha(\alpha+1)\beta^2-(\alpha\beta)^2=\alpha\beta^2$

これを式(12)に代入すると

$\sigma(G(\alpha,\beta))=\sqrt{\alpha}\beta$ ・・・・(6)

これで、式(6)が証明出来ました。