アーラン分布の再生性 - 工場統計力学（建設中！）

ある分布の集合に属する２つの確率密度分布を持つ互いに独立な確率変数 $X$ 、 $Y$ を考えた時に、確率変数 $Z=X+Y$ の確率密度分布が同じ分布に属する場合、その分布は再生性を持つ、と言います。
ここでは、同じ $\lambda$ を持つアーラン分布が再生性を持つことを示します。つまり、アーラン分布 $f(t;k_1,\lambda)$ を持つ確率変数 $X_1$ と、アーラン分布 $f(t;k_2,\lambda)$ を持つ確率変数 $X_2$ を考え、 $X_1$ と $X_2$ が互いに独立であるとすると、 $X_3=X_1+X_2$ で定義される確率変数もアーラン分布 $f(t;k_3,\lambda)$ の形の分布を持つ、ということを示します。

「アーラン分布」で示したように、 $f(t;k_1,\lambda)$ は平均 $1/\lambda$ の指数分布を持つ独立な確率変数 $X_i$ を $k_1$ 個を足した確率変数

$E_k_1=\Bigsum_{i=1}^{k_1}X_i$

の持つ分布と考えることが出来ます。同様に、 $f(t;k_2,\lambda)$ は平均 $1/\lambda$ の指数分布を持つ独立な確率変数 $Y_j$ を $k_2$ 個を足した確率変数

$E_k_2=\Bigsum_{j=1}^{k_2}Y_j$

の持つ分布と考えることが出来ます。
$E_k_1$ と $E_k_2$ が互いに独立であるとすると、任意の $1{\le}i{\le}k_1$ と $1{\le}j{\le}k_2$ について $X_i$ と $Y_j$ が独立でなければなりません。
$X_1$ は $E_k_1$ と考えることが出来、 $X_2$ は $E_k_2$ と考えることが出来るので、 $X_3=X_1+X_2$ は $E_k_1+E_k_2$ と考えることが出来ます。さらに $E_k_1$ は平均 $1/\lambda$ の指数分布を持つ独立な確率変数 $X_i$ を $k_1$ 個を足したもの、 $E_k_2$ は平均 $1/\lambda$ の指数分布を持つ独立な確率変数 $Y_j$ を $k_2$ 個を足したもの、と考えられるので、そして任意の $1{\le}i{\le}k_1$ と $1{\le}j{\le}k_2$ について $X_i$ と $Y_j$ が独立だから、それらすべては互いに独立な確率変数であるので、 $X_3$ は平均 $1/\lambda$ の指数分布を持つ独立な確率変数を $k_1+k_2$ 個足したものと考えることが出来ます。よって、 $X_3$ の確率密度分布は $f(t;k_1+k_2,\lambda)$ の形のアーラン分布になります。

これで同じ $\lambda$ を持つアーラン分布の集合が再生性を持つことを証明することが出来ました。