工場統計力学（建設中！）

不定個の同一分布独立確率変数の和の平均

確率論

同じ分布を持つ独立な確率変数が $N$ 個あり、それらを $X_k$ （ただし $1{\le}k{\le}N$ ）で表すことにします。これらの確率変数の和を考え、それを $Y$ で表します。つまり

$Y=\Bigsum_{k=1}^NX_k$ ・・・・(1)

です。 $N$ が固定の値である場合、 $Y$ の平均 $E[Y]$ を求めることは、「同一の確率分布を持つ独立な複数の確率変数の和の変動係数」に示すようにすれば出来ます。すなわち

$E[Y]=NE[X]$ ・・・・(2)

です。ただし $E[X]$ は $X_k$ の平均であって

$E[X]=E[X_1]=E[X_2]=E[X_3]$ ・・・・・ $=E[X_N]$ ・・・・(3)

です。
難しいのは、 $N$ 自身が確率変数の場合です。この場合に $E[Y]$ を求めることを考えてみましょう。ただし、一般の場合を考えるのは難しいので、 $N$ が $X_i$ と独立である場合について考えます。

$N=n$ である確率を $P(n)$ で表すことにします。 $N=n$ という条件における $E[Y]$ は、式(2)から

$E[Y]=nE[X]$ ・・・・(4)

になります。ここでよく考えると式(4)の $E[Y]$ は $N=n$ という条件における値ですから、 $N$ の値の関数になっています。さらに $N$ は確率変数ですから式(4)の $E[Y]$ もまた確率変数です。そのことを表すために $E[Y|N]$ と表すことにします。すると式(4)はより正確には

$E[Y|N=n]=nE[X]$ ・・・・(5)

と書くべきであることが分かります。求めるべき $E[Y]$ は $E[Y|N]$ の平均値と考えることが出来ます。つまり

$E[Y]=E[E[Y|N] ]$ ・・・・(6)

（この式が成り立つことをもう少し詳しく説明したものを「条件付き期待値の定理」に載せました。）　この式(6)の右辺は

$\Bigsum_nP(n)E[E[Y|N=n] ]$

と書くことが出来ます。よって

- $=E[X]E[N]$

よって

$E[Y]=E[X]E[N]$ ・・・・(7)

となります。