不定個の同一分布独立確率変数の和の分散

「不定個の同一分布独立確率変数の和の平均」での考え方を応用して、今度は分散を計算してみます。

同じ分布を持つ独立な確率変数が個あり、それらを（ただし）で表すことにします。また、自身も確率変数であるとします。これらの確率変数の和を考え、それをで表します。つまり

• ・・・・(1)

です。
分散は、

• ・・・・(2)

ここで「[不定個の同一分布独立確率変数の和の平均]」の式(6)（ここでは式(3)に番号を振り直します）

• ・・・・(3)

を応用すれば

• ・・・・(4)

ここでまずの時のを計算します。つまりを計算します。

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  • 

よって

• ・・・・(5)

式(5)を式(4)に代入して

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  • 

よって

• ・・・・(6)

一方、式(2)の右辺の２番目の項は「不定個の同一分布独立確率変数の和の平均」の式(7)

• ・・・・(7)

を用いればよいので、式(2)に式(6)と式(7)を代入すると

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  • 

よって

• ・・・・(8)

となります。