工場統計力学（建設中！）

Ｍ／Ｍ／１／ｎ待ち行列（３）

待ち行列理論

「Ｍ／Ｍ／１／ｎ待ち行列（２）」の続きです。
最後に $u=1$ の時の $u_e$ と $X$ を求めておきます。

「Ｍ／Ｍ／１／ｎ待ち行列（２）」の式(16)

$\Bigsum_{k=0}^nu^kp(0)=1$ ・・・・(16)

で $u=1$ とすると

$(n+1)p(0)=1$

よって

$p(0)=\frac{1}{n+1}$ ・・・・(28)

これを式(13)

$p(k)=u^kp(0)$ 　　 $(0{\le}k{\le}n)$ ・・・・(13)

に代入すれば、

$p(k)=\frac{1}{n+1}$ 　　 $(0{\le}k{\le}n)$ ・・・・(29)

装置稼働率 $u_e$ は式(14)

$u_e=1-p(0)$ ・・・・(14)

から

$u_e=1-p(0)=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$

よって

$u_e=\frac{n}{n+1}$ ・・・・(30)

ＷＩＰ、 $WIP$ は式(21)

$WIP=\Bigsum_{k=0}^nkp(k)$ ・・・・(21)

と式(29)から

$WIP=\Bigsum_{k=0}^nkp(k)=\frac{1}{n+1}\Bigsum_{k=0}^nk=\frac{1}{n+1}\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n}{2}$

よって

$WIP=\frac{n}{2}$ ・・・・(31)

スループット $TH$ は、式(24)

$TH=\frac{u_e}{t_e}$ ・・・・(24)

に式(30)を代入させて

$TH=\frac{n}{(n+1)t_e}$ ・・・・(32)

サイクルタイム $CT$ はリトルの法則から

$CT=\frac{WIP}{TH}=\frac{n}{2}\frac{n+1}{n}t_e=\frac{n+1}{2}t_e$

よって

$CT=\frac{n+1}{2}t_e$ ・・・・(33)

よってX-Factor, $X$ は

$X=\frac{n+1}{2}$ ・・・・(34)

となります。

以上をまとめると

のとき
- $u_e=\frac{u(1-u^n)}{1-u^{n+1}}$ ・・・・(20)
- $X=\frac{1}{1-u^n}\left[\frac{1-u^{n+1}}{1-u}-(n+1)u^n\right]$ ・・・・(27)
のとき
- $u_e=\frac{n}{n+1}$ ・・・・(30)
- $X=\frac{n+1}{2}$ ・・・・(34)

となります。

「Ｍ／Ｍ／１／ｎ待ち行列（４）」に続きます。