工場統計力学（建設中！）

Ｍ／Ｍ／ｓ／ｎ待ち行列（１）

待ち行列理論

「Ｍ／Ｍ／１／ｎ待ち行列（４）」の続きです。

では今度は、ステーションが１つ、ステーションを構成する装置が $s$ 台、ジョブの到着時間間隔の分布が指数分布、装置の処理時間の分布も指数分布、ステーション内にはジョブが $n$ 個までしか入らない場合の、この待ち行列の挙動を調べていきます。大体の流れは、「Ｍ／Ｍ／１／ｎ待ち行列（１）」の場合と同じです。

ステーション内にジョブが $k$ 個ある確率を $p(k)$ で示します。また、ステーション内にジョブが $k$ 個ある状態を「状態 $k$ 」と呼ぶことにします。装置の処理時間の平均を $t_e$ で示します。ジョブの平均到着時間間隔を $t_a$ で示します。ここで

$u=\frac{t_e}{st_a}$

という数を考えます。すると

$t_a=\frac{t_e}{su}$ ・・・・(1)

になります。任意のある時刻 $t$ から $t+dt$ の間に処理が完了する確率は（どの装置の処理完了であるかは問わない）、今の状態が状態 $k$ であるとすると、

の場合は
- $\frac{k}{t_e}dt$ ・・・・(2)
の場合は
- $\frac{s}{t_e}dt$ ・・・・(3)

となります。同様に、任意のある時刻 $t$ から $t+dt$ の間にジョブが到着する確率は

$\frac{su}{t_e}dt$ ・・・・(4)

となります。
状態0を考えます。この状態から別の状態に変化する遷移は、ジョブの到着による、状態0→状態1、の遷移のみです。また、別の状態からこの状態に変化する遷移は、ジョブの処理完了による、状態1→状態0、の遷移のみです。

定常状態ではこの状態0から出て行く流れと状態0に入って行く流れが等しいはずです。出て行く流れ、つまり $t$ から $t+dt$ の間に状態0→状態1の遷移が発生する確率は式(4)から

$p(0)\frac{su}{t_e}dt$ ・・・・(5)

になります。一方、入って行く流れ、つまり $t$ から $t+dt$ の間に状態1→状態0の遷移が発生する確率は式(2)から

$p(1)\frac{1}{t_e}dt$ ・・・・(6)

になります。式(5)と(6)が等しいわけですから

$p(0)\frac{su}{t_e}dt=p(1)\frac{1}{t_e}dt$

よって

$p(0)su=p(1)$

よって

$p(1)=sup(0)$ ・・・・(7)

となります。
次に状態0と状態1をひとまとめに考え、状態2以上をひとまとめに考えます。この２つのグループの間の流れを考えます。状態0と状態1のグループをＡ、状態2以上のグループＢとします。

ＡからＢへの遷移が発生する確率は、式(5)と同様に考えれば

$p(1)\frac{su}{t_e}dt$ ・・・・(8)

であることが分かります。次にＢからＡへの遷移が発生する確率は、今度は状態２では装置が２台処理中であることを考慮して式(2)を考慮すれば

$p(2)\frac{2}{t_e}dt$ ・・・・(9)

になります。式(8)と(9)が等しいわけですから

$p(1)\frac{su}{t_e}dt=p(2)\frac{2}{t_e}dt$

よって

$p(1)su=2p(2)$

よって

$p(2)=\frac{su}{2}p(1)$ ・・・・(10)

となります。ここで式(7)を考え直してみれば式(7)は

$p(1)=\frac{su}{1}p(0)$ ・・・・(11)

とみなすことが出来ることが分かります。これを拡張していけば、

の時
- $p(k)=\frac{su}{k}p(k-1)$ ・・・・(12)

となることが分かります。さらに、式(12)を繰り返し適用していくことで

の時
- $p(k)=\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(13)

になることが分かります。式(13)で $k=s$ とすると

$p(s)=\frac{(su)^s}{s!}p(0)$ ・・・・(14)

です。

今度は $k>s$ の場合を考えてみましょう。先ほどと同様に考えます。

今度は状態 $k$ であっても処理中の装置は $k$ 台ではなく $s$ 台であることが異なっています。よってＡからＢへの遷移が発生する確率は、式(5)と同様

$p(k-1)\frac{su}{t_e}dt$ ・・・・(15)

ですが、ＢからＡへの遷移が発生する確率は、装置が $s$ 台処理中であることに注意して

$p(k)\frac{s}{t_e}dt$ ・・・・(16)

になります。式(15)と(16)が等しいわけですから

$p(k-1)\frac{su}{t_e}dt=p(k)\frac{s}{t_e}dt$

よって

$p(k-1)u=p(k)$

よって

の時
- $p(k)=up(k-1)$ ・・・・(17)

となります。 $k=s-1$ の時から繰り返し式(17)を適用することで

の時
- $p(k)=u^{k-s}p(s)$ ・・・・(18)

を導くことが出来ます。さらに式(14)を代入すれば

の時
- $p(k)=u^k\frac{s^s}{s!}p(0)$ ・・・・(19)

となります。よって

の時
- $p(k)=\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(13)
の時
- $p(k)=u^k\frac{s^s}{s!}p(0)$ ・・・・(19)

となります。

「Ｍ／Ｍ／ｓ／ｎ待ち行列（２）」に続きます。