Ｍ／Ｍ／ｓ／ｎ待ち行列（２） - 工場統計力学（建設中！）

「Ｍ／Ｍ／ｓ／ｎ待ち行列（１）」の最後の、式(13)(19)

の時
- $p(k)=\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(13)
の時
- $p(k)=u^k\frac{s^s}{s!}p(0)$ ・・・・(19)

から $p(0)$ を求めます。
全確率の定理から

$\Bigsum_{k=0}^np(k)=1$ ・・・・(20)

ここで式(13)(19)を代入すると

$\Bigsum_{k=0}^s\frac{(su)^k}{k!}p(0)+\Bigsum_{k=s+1}^nu^k\frac{s^s}{s!}p(0)=1$

よって

$\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}p(0)+\frac{(su)^s}{s!}p(0)+\Bigsum_{k=s+1}^nu^k\frac{s^s}{s!}p(0)=1$
$\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}p(0)+\Bigsum_{k=s}^nu^k\frac{s^s}{s!}p(0)=1$
$p(0)\left[\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{s^s}{s!}\Bigsum_{k=s}^nu^k\right]=1$
$p(0)\left[\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{s^s}{s!}u^s\Bigsum_{k=0}^{n-s}u^k\right]=1$ ・・・・(21)

ここで $u\neq1$ と仮定して「よく使う式」の式(1)（ここでは番号を振りなおして式(22)とします）

$\Bigsum_{k=0}^Nu^k=\frac{1-u^{N+1}}{1-u}$ ・・・・(22)

を用いれば

$p(0)\left[\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{s^s}{s!}u^s\frac{1-u^{n-s+1}}{1-u}\right]=1$

よって

$p(0)\left[\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s(1-u^{n-s+1})}{s!(1-u)}\right]=1$

よって

$p(0)=\frac{1}{\left[\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s(1-u^{n-s+1})}{s!(1-u)}\right]}$ ・・・・(23)

もう $p(0)$ の表記がかなり複雑になりましたので、これを式(6-3)や式(6-3-2)に代入することはやめにします。

装置稼働率 $u_e$ は、Ｍ／Ｍ／１／ｎの時のように

$u_e=1-p(0)$

にはなりません。というのは装置は $s$ 台あるので、 $p(0)$ というのは装置 $s$ 台が全て空いている状態のことをいうので上の式で $u_e$ を定義するとそれは、いずれかの装置が稼動している割合になってしまいます。装置稼働率は、状態１ならば $1/s$ 、状態２ならば $2/s$ ・・・・、状態 $s$ 以上ならば $1$ （つまり100%）と考えることが出来ます。このように考えれば

$u_e=\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{k}{s}p(k)+\Bigsum_{k=s}^np(k)$ ・・・・(24)

と定義すればよいことが分かります。式(13)(19)を式(24)に代入してみましょう。

- $=p(0)\left[\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{s(k-1)!}+\Bigsum_{k=s}^nu^k\frac{s^s}{s!}\right]$

よって

$u_e=p(0)\left[\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{s(k-1)!}+\Bigsum_{k=s}^nu^k\frac{s^s}{s!}\right]$ ・・・・(25)

あまりきれいな式にはなりませんでした。
一応、装置稼働率 $u_e$ が求まったので、次はX-Factorを求めたいのですがこれはＭ／Ｍ／１／ｎよりもさらに困難です。まず、ＷＩＰを求め、次に装置稼働率からスループットを求め、リトルの法則を用いてhttp://d.hatena.ne.jp/CUSCUS/20070221#1172007298:title=ＷＩＰ]とスループットからサイクルタイムを求めます。最後にサイクルタイムからX-Factorを求める、という方針はＭ／Ｍ／１／ｎと変わりませんが、ＷＩＰがきれいな式になりそうにありません。
まず、ＷＩＰは