リー・ロントンの近似式を根拠づける試み（４）

「リー・ロントンの近似式を根拠づける試み（３）」の続きです。私の導いた近似式はリー・ロントンの近似式よりも精度が劣っておりました。とはいえ、それほど値に差があったわけではありません。利用率 $u$ を変化させた場合の平均待ち行列長 $L_q$ の変化の様子を、この２つの近似式で比較してみました。

このグラフを見ると、差はほとんど無視してよいことが分かります。では、２つの近似式はほぼ等しいと考えてよいでしょうか？
上の比較結果は $s=2$ の時の結果でした。 $s=10$ 、つまり装置が１０台ならばどうなるでしょうか？

私のほうの近似式は、「リー・ロントンの近似式を根拠づける試み（２）」で行った考察をそのままたどっていけば

$CT_{q(M/D/10)}\appro\frac{1}{20}{\cdot}\frac{u}{1-u}t_e$ ・・・・(15)

という式にたどり着きます。これから平均待ち行列長 $L_{q(M/D/10)}$ の式を、リトルの法則を用いて導き出せば、

$L_{q(M/D/10)}=CT_{q(M/D/10)}{\times}\frac{10u}{t_e}\appro\frac{1}{2}{\cdot}\frac{u}{1-u}t_e$

つまり

$L_{q(M/D/10)}\appro\frac{1}{2}{\cdot}\frac{u}{1-u}t_e$ ・・・・(16)

となり「リー・ロントンの近似式を根拠づける試み（３）」の式(13)とまったく同じ式になります。つまり、私の近似式では $s$ の値に依存せずに $L_q$ は式(16)の右辺で近似されます。
一方リー・ロントンの近似式から導かれる $L_q$ は $s$ の値に依存します。

$CT_{q(M/D/s)}{\approx}\frac{1}{2}CT_{q(M/M/s)}$ ・・・・(4')

から

$L_{q(M/D/s)}{\approx}\frac{su}{2t_e}CT_{q(M/M/s)}$ ・・・・(17)

ここで $CT_{q(M/M/s)}$ は「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（１）」にあるように

・・・・(18)
- $p_0=\frac{1}{\Bigsum_{k=\0}^{s-1}\left{\frac{(su)^k}{k!}\right}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(19)

なので、式(17)は

$L_{q(M/D/s)}{\approx}\frac{s^su^{s+1}}{2s!(1-u)^2}{p_0}$ ・・・・(20)

となります。
式(16)と式(20)について、利用率 $u$ を変化させた場合の平均待ち行列長 $L_q$ の変化の様子をグラフ化したものが下のグラフです。

今度は、結構差が出ています。ですので「２つの近似式はほぼ等しいと考えて」はいけないことになります。
それでは、どちらのほうが精度がよいのでしょうか？　再び「逆瀬川氏の近似式の論文の和訳（３）」の「表3.4　 $\rho=0.9$ の時の $GI/G/s$ 待ち行列の $\tilde{L}_q$ と $L_q$ 」を参照してみると $L_{q(M/D/10)}=3.10$ でした。これに対し、私の近似式の与える値は $L_{q(M/D/10)}=4.05$ 、リー・ロントンの近似式からは $L_{q(M/D/10)}=3.01$ でした。他の $u$ の値の時の真の値が分からないので断言は出来ませんが、どうもリー・ロントンの近似式のほうが精度がよさそうです。

やはり、なんとかしてリー・ロントンの近似式の成り立つ理由を探さなければなりません。