Ｄ／Ｍ／ｓ待ち行列の平均待ち時間を求めて（２）

「Ｄ／Ｍ／ｓ待ち行列の平均待ち時間を求めて（１）」の最後で、式(11)

• ・・・・(11)

が成り立つかどうかを問題にしました。
これは実は成り立ちません。の場合がすでに反例になっています。Ｍ／Ｄ／１待ち行列では到着過程がポアソン過程なのでＰＡＳＴＡを適用することが出来、ジョブの到着時に全ての装置が（といってもなので１台の装置が、ということになります）処理中である確率は、装置が処理中である時間平均であるに等しくなります。つまり

• ・・・・(12)

です。しかし、Ｄ／Ｍ／１待ち行列では到着過程がポアソン過程ではないのでＰＡＳＴＡを適用することが出来ません。ジョブの到着時に装置が処理中であるのをそのジョブが見る確率は、「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（３）」のグラフにありますようにより小さい値になります。よっては近似的にもに等しくありません。よって上の式(11)は成り立ちません。よって、「Ｄ／Ｍ／ｓ待ち行列の平均待ち時間を求めて（１）」で述べた方法では

• ・・・・(3)

を言うことは出来ません。

「Ｄ／Ｍ／ｓ待ち行列の平均待ち時間を求めて（１）」の内容を見直してみると式(8)

• ・・・・(8)

も正しくないことが分かります。正確には

• ・・・・(14)

と書くべきです。つまり

• ・・・・(15)

であることに注意しなければなりません。このことに注意してもう一度検討してみましょう。

まず

• ・・・・(6)
• ・・・・(7)

でした。さらに

• ・・・・(14)

でした。式(6)(7)(14)から

• ・・・・(15)

となります。さらに、式(5)

• ・・・・(5)

を用いると

• ・・・・(16)

となります。

そこで、もし

• ・・・・(17)

をいうことが出来れば、

• ・・・・(3)

をいうことが出来そうです。

しかしその前に、そもそも

• ・・・・(18)

は、なぜ成り立つのか、それを探求すべきなのかもしれません。