Ｍ／Ｇ／ｓの待ち確率Πの近似（１） - 工場統計力学（建設中！）

「《待ち行列における近似》――ORWiki」に

M/G/待ち行列の平均待ち時間以外の重要な特性量としては, 到着客の待ち確率(delay probability) $\Pi_{M/G/s}$ が挙げられる. 理論的および数値的検証によって

$\Pi_{M/G/s}\approx\Pi_{M/M/s}$

が非常に良い近似となることが確かめられており, アーランの待ち確率近似(Erlang delay probability approximation)と呼ばれている.

《待ち行列における近似》――ORWiki

とあるのを、何とか（厳密ではなくても）証明しようというのがここ最近の私の課題でした。それが何とかなりそうになったので、私が何を考えたのかをこれから述べていきます。

私が得た最初のヒントは、木村俊一*1氏の「待ち行列におけるある近似の試み――経済学研究42-3　北海道大学　1992.12」の中の次の文章でした。

4　定常状態確率に対する近似

定常状態における任意時点のシステム内の客数を $L$ で表し、定常状態確率を $P_j=P\{L=j\}(j{\ge}0)$ で表すことにする。前節で求めた $EW$ や、 $G/G/s$ で成り立つ種々の保存則、さらには $\rho$ や $s$ に関する漸近的性質と整合する $\{P_j\}$ の近似式を導くことはそれほど容易ではない。 $G/G/s$ に関する理論的研究は未成熟であり、当面、ポアソン到着過程を仮定すること、i.e., $M/G/s$ から始める必要がある。
　 $\{P_j\}$ に対する近似を導くこれまでのアプローチは、そのほとんどが(i) $L{\le}s$ のときには $G/G/\infty$ 、(ii) $L>s$ のときには $G/G/1$ *2を適用して、その後両者を接続するという基本考え方の下で構成されていた。

でした。ここでは $M/G/s$ を考えていますから私は上の強調した部分をこう解釈しました。

(i) $L{\le}s$ のときには $M/G/\infty$ 、(ii) $L>s$ のときには $M/G/1$ を適用

(ii)の「 $L>s$ のときには $M/G/1$ 」はおそらく私が「リー・ロントンの近似式を根拠づける試み（８）」から「（１０）」で展開してきたやり方に関係しているのではないかと思っておりますが、未検討です。ただ、 $L>s$ では

- （ $b$ は定数です。また上の引用では $P_j$ と書かれていたのを自分の慣れ親しんだ表記法に合わせて $p(j)$ と書いています。 $p(j)$ は、時間平均で見た、系内に客が $j$ 個いる確率を表しています。）

と近似出来るのではないか、と考えています。そしてこれは拡散近似から考えて正当化出来ると考えました。「べき乗減衰の根拠」参照。
問題は $L{\le}s$ の場合です。私は今までこの場合の $p(L)$ の分布の近似について何か言うことが出来ませんでした。しかし、他の文献からどうもこの場合 $p(L)$ は $M/M/s$ の時の $p(L)$ で近似出来るということを知っておりました。もちろん、その根拠は知りませんでした。上の引用した箇所のもう少しあとには、こう書かれていました。