工場統計力学（建設中！）

Ｍ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布の近似（２）

待ち行列理論

「Ｍ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布の近似（１）」の式(9)

$L_q\approx\frac{b}{1-b}\Pi_{M/M/s}$ ・・・・(9)

での $L_q$ はリトルの法則から

$L_q=CT_q{\times}\frac{su}{t_e}$ ・・・・(10)

であることが分かります。よって式(9)(10)から

$CT_q{\approx}\frac{b}{1-b}\Pi_{M/M/s}\frac{1}{su}t_e$ ・・・・(11)

ところで「リー・ロントンの近似式によれば

$CT_q{\approx}\frac{1+c_e^2}{2}CT_{q(M/M/s)}$ ・・・・(12)

でした。式(12)の $CT_{q(M/M/s)}$ は「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（１）」の式(1)にあるように（ここでは式(13)とします）

$CT_{q(M/M/s)}=\frac{s^{s-1}u^s}{s!(1-u)^2}p(0)t_e$ ・・・・(13)

でした。ここで「[Ｍ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布の近似（１）]」の式(2)

$p(0)=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(2)

と式(5)

$\Pi_{M/M/s}=\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(5)

を考えれば式(13)は

- $=\frac{1}{s(1-u)}\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}t_e=\frac{1}{s(1-u)}\Pi_{M/M/s}t_e$

よって式(12)は

$CT_q{\approx}\frac{1+c_e^2}{2}\frac{1}{s(1-u)}\Pi_{M/M/s}t_e$ ・・・・(14)

となります。式(11)と(14)から

$\frac{b}{1-b}\Pi_{M/M/s}\frac{1}{su}t_e{\approx}\frac{1+c_e^2}{2}\frac{1}{s(1-u)}\Pi_{M/M/s}t_e$

よって

$\frac{b}{1-b}\frac{1}{su}=\frac{1+c_e^2}{2}\frac{1}{s(1-u)}$
$\frac{b}{1-b}=\frac{1+c_e^2}{2}\frac{u}{1-u}$
$\frac{1-b}{b}=\frac{2}{1+c_e^2}\frac{1-u}{u}$
$\frac{1}{b}-1=\frac{2}{1+c_e^2}\frac{1-u}{u}$
- $=\frac{(1+c_e^2)u+2(1-u)}{(1+c_e^2)u}=\frac{2-(1-c_e^2)u}{(1+c_e^2)u}$
$b=\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}$ ・・・・(15)

よって結論をまとめると、Ｍ／Ｇ／ｓの定常状態確率 $p(k)$ の近似式は

[tex:k
- $p(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(1)
- ただし、 $p(0)=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(2)
の時
- $p(k){\approx}b^{k-s}(1-b)\Pi_{M/M/s}$ ・・・・(3)
- ただし
  - $b=\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}$ ・・・・(15)
  - $\Pi_{M/M/s}=\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(5)

となります。